高考不等式经典例题

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1、高考不等式专题精练高考不等式经典例题【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.【变式训练1】已知m＝a＋(a＞2)，n＝x－2(x≥)，则m，n之间的大小关系为(　　)A.m＜nB.m＞nC.m≥nD.m≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.m＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤()－2

2、＝4.【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，所以故f(3)＝－(a－c)＋(4a－c)∈[－1,20].题型三　开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab＞0；②＞；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:＞⇔＞0.(1)由ab＞0，bc＞ad⇒＞0，即①③⇒②；(2)由ab＞0，＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad

3、，即①②⇒③；(3)由bc－ad＞0，＞0⇒ab＞0，即②③⇒①.故可组成3个正确命题.【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0(m∈R).【解析】当m＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；当m≠0时，可分为两种情况：(1)m＞0时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝.所以不等式的解集为{x

4、x＜－1或x＞}；(2)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，4高考不等式专题精练其对应方程两根为x1＝－1，x2＝，x2－x1＝－(－1)＝.①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，不等式的解集为{x

5、－

6、1＜x＜}；②m＝－2时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为∅；③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x

7、＜x＜－1}.【变式训练2】解关于x的不等式＞0.【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.当a＝0时，不等式的解集为{x

8、x＜－1}；当a＞0时，不等式的解集为{x

9、x＞或x＜－1}；当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x

10、＜x＜－1}；当a＝－1时，不等式的解集为∅；当a＜－1时，不等式的解集为{x

11、－1＜x＜}.【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x

12、1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.【解析】由于ax2＋

13、bx＋c＞0的解集为{x

14、1＜x＜3}，因此a＜0，解得x＜或x＞1.(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大.所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是()2＝.(3)z＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－)连线斜率的2倍.因为kQA＝，k

15、QB＝，所以z的取值范围为[，].【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则(　　)A.x＋y≥2(＋1)B.x＋y≤2(＋1)C.x＋y≤2(＋1)2D.x＋y≥(＋1)2(2)已知a，b∈R＋，则，，，的大小顺序是　　　　　　　　　.【解析】(1)选A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤()2，所以()2≥1＋(x＋y).解得x＋y≥2(＋1)或x＋y≤2(1－).因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(＋1).(2)由≥有a＋b≥2，即a＋b≥，所以≥.4高考不等式专题精练又＝≤，所以≥，所以≥≥≥.【变式训练1】设a＞b＞c，不等式＋＞恒成立，则λ的取值范围是　　　　.

16、【解析】(－∞，4).因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.而(a－c)(＋)＝[(a－b)＋(b－c)](＋)≥4，所以λ＜4.【例2】(1)已知x＜，则函数y＝4x－2＋的最大值为　　　　；【解析】(1)因为x＜，所以5－4x＞0.所以y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.所以x＝1时，ymax＝1.【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，