角平分线的判定(用)

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1、角的平分线的性质（2）12.3复习回顾1.角平线的性质是什么？角平分线上的点到角两边的距离相等2.角平分线的性质用数学语言怎样叙述？EDOABPC∵OC平分∠AOB,PD⊥OA,PE⊥OB.∴PD=PE.反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？已知：如图,PD⊥OA、PE⊥OB，垂足为D、E，且PD＝PE．求证：点P在∠AOB的平分线上．EDOABPC1）猜想：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。2）证明证明:∵PD⊥OA、PE⊥OB∴∠ODC=∠OEC=90°在△OCD和△OCE中OC=OCOD=OE∴△OCD≌△OCE(HL)∴∠DOC=

2、∠EOC∴点P在∠AOB的平分线上到角的两边的距离相等的点在角的平分上.∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,用数学符号表示为：EDOABPC∴点P在∠AOB的平分线上．角的内部如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个贸易市场应建在何处？（比例尺为1∶20000）思考S500mPABO角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。例1已知：如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.CPABMNFED证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F∵BM为△ABC的角

3、平分线∴PD=PE同理,PE=PF∴PD＝PE=PF即点P到三边AB、BC、CA的距离相等想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？结论：三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三边的距离相等。练习：如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，求证：点F在∠DAE的平分线上．GHM结论：三角形两个外角的平分线也交于一点，且这点到三边所在的直线的距离相等。随堂练习1.在三角形的内部，到三角形三边的距离相等的点是.三条角平分线的交点2.有三条公路相交于A，B，C三点，要在这三条公路旁建一个加油站，且到三条公路的距离相等，符合要求的点共有（）

4、个。cabABC3.在Rt△ABC，∠C=90度，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，CD=2，则点D到AB的距离.BACD42E5.如图，BD=CD，BF⊥AC于F，CE⊥AB于E，求证：点D在∠BAC的平分线上.FBCDEA??∟∟1234证明：∵BF⊥AC于F，CE⊥AB于E（已知）∴∠1=∠2=90°（垂直的定义）在△CDF和△BDE中∠1=∠2(已证）∠3=∠4(对顶角相等）BD=CD(已知)∴△CDF≌△BDE（AAS){∴DF=DE（全等三角形的对应边相等）∴点D在∠BAC的平分线上（角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上)1.角平分线的判定:到一个角

5、的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.3.角平分线的性质定理和角平分线的判定定理是证明角相等、线段相等的新途径.小结2.（1）三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三边的距离相等.（2）三角形两个外角的平分线也交于一点，且这点到三边所在的直线的距离相等.作业：课本P513题P526题4.在∠BAC的平分线上任取一点D，在AB、AC上各取一点E、F，若DE=DF，且AE>AF，求证：∠AED+∠AFD=180°EAFCDB1233、如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且BE＝CF。求证：AD是△ABC的角平分线。ABCEFD