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1、关于高中数学教学中融入数学建模思想的探讨四川大英县育才中学赵其伟一、数学建模在高等数学教学中的重要作用数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型,即数学建模。数学建模是指对现实世界的一些特定对象，为了某特定目的，做出一些重要的简化和假设,运用适当的数学工只得到一个数学结构，用它来解释特定现象的现实性态，预测对象的未来状况，提供处理对象的优化决策和控制，设计满足某种需要的产品等。从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空
2、前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化,数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予了更为重要的意义。二、数学建模思想在高等数学教学中的运用高等数学教学的重点是提高学牛.的数学素质，学牛.的数学素质主要体现为:抽象思维和逻辑推理的能力;如今在一些教材中也渐渐的补充了与实际问题相对应的例子，习题。如:人大出版社中的第四章第八节所提到的边际分析与弹性分析，以及几乎各种教材中对于函数极值问题的实际应用的例
3、子。其实这就是实际应用中的一个简单的建摸问题。但仅仅知道运算还是不够的，我们还要从具体问题给出的数据建立适用的模型。下面我们就只体的例子来看看高等数学对经济数学的应用。例:有资料记载某农村的达到小康水平的标准是年人均收入为2000元,据调查该村公400人，其中一广4人年收入60万,另一户4人20万，其中70%的人年收入在300元左右，其余在500左右。对于该村是否能定位在己经达到了小康水平呢。首先我们计算平均收入:60万,20万各一户共8人,300元共400×70%=280人,500元共400-288=112人。平均收入为元从
4、这个数据我们可以看出该村的平均收入超过2000元，所以认为达到了小康水平，但我们在来看一下数据，有99.5%的人均收入低于2000千，所以单从人均收入来衡量是不科学的，那么在概率论中我们利用人均年收入的标准差a来衡量这个标准。我们可以看出标准差是平均水平的六倍多，标准差系数竟超过100%,所以我们不能把该村看作是达到了小康水平。因此我们要真正的把高等数学融入到实际应用当中是我们高确良等教育的一个重点要改革的内容。为了在概念的引入中展现数学建模，首先必须提出具有实际背景的引例。下面我们就以高等数学中导数这一概念为例加以说明。(1＞引例模型I
5、:变速直线运动的瞬吋速度1、提出问题:设奋一物体在作变速运动，如何求它在任-吋刻的瞬吋速度？2、建立模型分析:我们原来只学过求匀速运动在某一吋刻的速度公式:S=vt那么，对于变速问题,我们该如何解决呢?师生讨论:由于变速运动的速度通常是连续变化的，所以当吋间变化很小时，可以近似当匀速运动来对待。假设:设一物体作变速直线运动，以它的运动直线为数轴，则在物体的运动过程中，对于每一时刻t,物体的相应位置可以用数轴上的一个坐标S表示，即S与t之间存在函数关系:s=s(t)。称其为位移函数。设在t0吋刻物体的位置为S=s(t0)。当在t0吋刻,给吋
6、间增加了At,物体的位置变为S=(tO+At):此吋位移改变了ASrSao+At)-S(tO)o于是,物体在to到tO+At这段吋间内的平均速度为:7=当At很小吋,V可作为物体在t0吋刻瞬吋速度的近似值。且当一At—越小,v就越接近物体在t0吋刻的瞬吋速度v,即vtO=[(l)式];(1)即为己知物体运动的位移函数s=s(t),求物体运动到任-时刻to吋的瞬吋速度的数学模型。模型II:非恒定电流的电流强度。己知从0到t这段吋间流过导体横截面的电量为⑴，求在to吋刻通过导体的电流强度?通过对此模型的分析，同学们发现建立模型II的方法步骤与
7、模型I完全相从而采用与模型I类似的方法，建立的数学模型为dtO=要求解这两个模型，对于简单的函数还容易计算，但对于复杂的函数，求极限很难求出。为了求解这两个模型，我们抛开它们的实际意义单从数学结构上看，却具冇完全相同的形式，可归结为同一个数学模型，即求函数改变量与自变量改变量比值,当自变量改变量趋近于零吋的极限值。在自然科学和经济活动中也有很多问题也可归结为这样的数学模型，为此，我们把这种形式的极限定义为函数的导数。(2)导数的概念定义:设函数y=f(x)在点xO的某一领域内脊定义，当自变量x在xO处宵增量Ax时，函数冇相应的增量△y=f
8、(xO+Ax)-f(xO｝。如果当△x→O时AyAx的极限存在，这个极限值就叫做函数y=f(x)在xO点的导数。即函数y=f(x)在点xO处可导，记作f′(xO)或f&p
