河北大学自控课件7

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1、第七章线性离散系统离散系统的基本概念信号的采样和保持差分方程与Z变换脉冲传递函数离散系统的性能分析一、基本概念如果控制系统的某些环节或元件，其工作信号在时间上是离散的，即仅在离散的时间点上取值，这样的动态系统称为离散系统或采样控制系统。线性离散控制系统是指系统的连续部分是线性的，且采样器的输出信号与输人信号也成线性关系的离散控制系统。采样控制系统数字控制系统1.采样控制系统(a)炉温连续控制系统tt炉温阀门开度(b)炉温采样控制系统tt炉温阀门开度炉温采样控制系统框图2.数字控制系统A/DD/A数字控制器被控对象测量元件e*(t)数字计算机r(t)e(t)u

2、*(t)uh(t)c(t)_计算机控制系统典型原理图A/D：模数转换器，将连续的模拟信号转换为离散的数字信号。包括采样与量化两过程。D/A：数模转换器，将离散的数字信号转换为连续的模拟信号。包括解码与复现两过程。计算机控制系统的优点有利于实现高精度，采样信号特别是数码信号的传递，能有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。由于采用计算机作为系统的控制器，因而这类系统不仅能完成复杂的控制任务，而且还易于实现修改控制器的结构参数，以满足工程实际的需要。计算机除了作控制器之外，还兼有显示报警等多种功能。二、信号的采样和保持1.信号采样及数学描述(a)连续信号t(

3、b)离散信号t(c)离散量化信号t2.载波脉冲序列的选择实际系统中不可能得到理想的单位脉冲，都是以不同形式的脉冲来代替。傅立叶变换不论脉冲函数的形状如何，在ω接近0的低频段，频谱总是近似等于冲量惰性对象的频率特性的通频带相对于脉冲函数的频谱要窄得多。在高频段，输入脉冲的频谱虽然因脉冲形状不同而不同，但由于对象的频率特性已逐渐减小到几乎等于0，所以脉冲频谱中的高频成分在输出中反映不出来。3.采样定理采样信号需要恢复成连续信号才能对对象进行控制，这个工作是由保持器来完成的。信号能否恢复到原来的形状，除取决于保持器的性能外，更重要的还取决于采样信号所包含的反映原信

4、号波形信息的频谱形状保留的完备的程度。香农定理：如果被采样的连续信号x(t)的最高次谐波的角频率为ωm，采样信号角频率为ωc，当满足ωc>2ωm时，可以用理想的滤波器将采样后的信号x*(t)不失真地复现为x(t)。4.零阶保持器理想滤波器零阶保持器零阶保持器的幅值随ω的增大而衰减，具有明显的低通滤波器特性。但它并不是理想滤波器，还允许高频分量通过。由于采样系统中的连续部分也具有低通滤波特性，会使通过保持器的高频成分的绝大部分被滤掉，加之零阶保持器比较简单，所以在实际中被广泛采用。三、差分方程与Z变换反映系统动态特性的信息是脉冲或数字序列，微商的概念在此失去了

5、意义。因此用差分方程和脉冲传递函数来描述系统的动态特性。1.Z变换的定义2.Z变换的方法（级数求和法和部分分式法）例7-2的Z变换级数求和法将Z变换的定义式展开：E(z)=e(0)+e(T)z-1+e(2T)z-2+…+e(nT)z-n+…对于常用函数Z变换的级数形式，都可以写出其闭合形式。例7-3的Z变换。①先求出已知连续时间函数e(t)的拉氏变换E(s)；②将E(s)展开成部分分式之和的形式；③求拉氏反变换，再求Z变换E(z)。部分分式法例7-4已知求逐项取拉氏变换，可得由Z变换表可得3.Z变换的性质(1)线性定理若E1(z)=Z[e1(t)]，E2(z

6、)=Z[e2(t)]，a为常数，则Z[e1(t)+e2(t)]=E1(z)+E2(z)，Z[ae(t)]=aE(z)例已知e(t)=1(t-T),求Z变换E(z)。(2)实数位移定理若E(z)=Z[e(t)]，则Z[e(t-kT)]=z-kE(z),Z[e(t+kT)]=解：(3)复数位移定理已知e(t)的z变换为E(z)，则有根据复数位移定理，有例已知e(t)=te-at,求Z变换E(z)。Z[e(t)e±at]=E(ze±at)解：已知单位斜坡信号的z变换为(4)z域微分定理若e(t)的z变换为E(z)，则若e(t)的z变换为E(z)，则z[an

7、e(t)]=E(z/a),a为常数例试求ncost的Z变换。(5)z域尺度定理解：由变换表若e(t)的z变换为E(z)，并有极限存在，则(6)初值定理若e(t)的z变换为E(z)，函数序列e(nT)为有限值(n=0,1,2,…)，且极限存在，则设x(nT)和y(nT)为两个采样函数，其离散卷积定义为x(nT)y(nT)=，则卷积定理为：Z[x(nT)y(nT)]=X(z)Y(z)(7)终值定理（8）卷积定理4.Z反变换Z变换表实际只能给出原函数的一串离散数值x(k)，而不能给出原函数x(t)级数展开法只要求得上述形式的级数，便知道时间函数在采样点的

8、函数值序列。利用X(z)的形式是有理分式的特点，将X