河北大学自控课件8

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1、第八章非线性控制系统8.1非线性控制系统概述8.2相平面法8.3描述函数法7/29/20211电子信息工程学院8.1非线件控制系统概述一、为什么研究非线性控制系统理想的线性系统并不存在，实际系统往往都是非线性系统，只是做了一些合理的假设以后把他们看成线性系统来处理。但是，这种线性方法并不是在一切情况下都适用的。系统中的非线性主要存在于两个部分1）控制仪表和传动机构2）对象本身的特性7/29/20212电子信息工程学院小偏差线性化：实质：将连续变化的非线性函数y=f(x)在平衡工作点（x0y0）展开为泰勒级数：xyy=f(x)x0增量较小时略去其高次幂项，则有7/29/20213电子信息工程

2、学院例单摆运动lMgsinθMgθ单摆运动示意图根据牛顿运动定律可以直接导出此系统的动态方程为非线性项这是一输入为零，输出量为摆幅的二阶非线性微分方程。当控制系统处在自动调节状态的小摆幅下运行时，可应用小偏差线性化方法将非线性系统线性化。平衡状态为线性二阶微分方程7/29/20214电子信息工程学院小偏差线性化条件：（1）系统中的变量在某一额定工作点附近做微小变化。（2）非线性特性在此工作点可导，也就是曲线光滑。在许多情况下，上述条件并不能够满足，如：存在有本质非线性情况。1、饱和特性－aak0ue放大器等很多元件都具有饱和特性2、死区特性－aak0ue测量元件，电机等都有死区7/29/2

3、0215电子信息工程学院3、间隙特性－aak0xe齿轮间隙是典型的间隙特性4、继电器特性7/29/20216电子信息工程学院二、非线性控制系统的特点2、稳定性分析复杂。1、非线性系统的重要特征是不满足线性叠加原理。例：一阶非线性系统：两个平衡状态，其解为平衡状态是稳定的平衡状态—小范围稳定平衡状态是不稳定的平衡状态c=1c(t)c=0tc0>1c0<1由于描述非线性系统运动的数学模型为非线性微分方程，因此叠加原理不能应用。故能否应用叠加原理是两类系统的本质区别。7/29/20217电子信息工程学院对于线性系统，只有一个平衡状态，而且其稳定性只取决于系统本身的结构和参数，与外作用和初始条件无

4、关。对于非线性系统，系统可能存在多个平衡状态，系统的稳定性需要考虑各个平衡状态的稳定性，而且其平衡状态的稳定性与外作用和初始条件有关。总结：3、可能存在自激振荡现象所谓自激振荡是指没有外界周期变化信号的作用时，系统内产生的具有固定振幅和频率的稳定周期运动。范德波尔方程非线性阻尼项7/29/20218电子信息工程学院当扰动使时—系统具有负阻尼此时系统从外部获得能量，的运动呈发散形式当扰动使时—系统具有正阻尼此时系统消耗能量，的运动呈收敛形式当时，系统为零阻尼，其运动呈等幅振荡形式系统能克服扰动的影响，保持幅值为1的等幅振荡——自持振荡tc(t)10-1非线性系统的自持振荡7/29/20219

5、电子信息工程学院4、频率响应发生畸变非线性系统的频率响应除了含有与输入同频率的正弦信号分量(基频分量)外，还含有关于的高次谐波分量，使输出波形发生非线性畸变。例：死区非线性特性三、非线性系统的分析与设计方法(1)相平面法相平面法是推广应用时域分析法的一种图解分析方法。该方法既能提供稳定性信息，又能提供时间响应信息，特别适用于分析非线性系统在不同初始条件下或非周期信号输入(脉冲、阶跃、斜坡等)作用下的瞬态响应特性。但相平面法只限于一阶、二阶系统的分析和设计。(2)描述函数法描述函数法是基于频域分析法和非线性特性谐波线性化的一种图解分析方法。特别适用于分析非线性系统的稳定性或自激振荡。(3)逆

6、系统法7/29/202110电子信息工程学院常见的本质非线性－aak0ue－aak0ue－aak0xe7/29/202111电子信息工程学院8.2相平面法一、相平面的基本概念描述二阶时不变系统的常微分方程为是和的线性或非线性函数——系统运动的相变量(状态变量)—横坐标—纵坐标0相平面（，）直角坐标平面称为相平面在一定的初始条件下，求解相变量从初始时刻对应的状态点起，随着时间的推移，状态点在相平面上运动形成的曲线称为相轨迹。不同的初始状态对应不同的相轨迹—相轨迹簇。7/29/202112电子信息工程学院相平面图相轨迹簇相平面相平面法——根据相平面图分析系统的运动特征0t1t2t3t4t1t2

7、t3t4t1t2t3t47/29/202113电子信息工程学院例8-1某弹簧-质量运动系统如图所示，若初始条件为，，试确定系统自由运动的相轨迹。描述系统自由运动的微分方程式为该系统自由运动的相轨迹为以坐标原点为圆心、为半径的圆分离变量积分得：07/29/202114电子信息工程学院例8-2已知系统的结构图如下图所示，求零初始条件，单位阶跃输入下系统运动的相轨迹。-系统的开环传递函数对单位阶跃输入关于误差的微分方程为由给定