《河北大学自控》PPT课件

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1、根轨迹方程根轨迹绘制的基本法则根轨迹绘制举例参量根轨迹的绘制一、根轨迹方程1.根轨迹概念jR(s)KC(s)K=0.50.5-s(s1)K=0K=0.25K=0σ-1-0.50KK(s)2K=0.5-0.5s(s1)KssK闭环特征方程为s2+s+K=0,解得闭环特征根表达式114K114Ks,s122222K00.10.250.51……∞S0-0.113-0.5-0.5+j0.5-0.5+j0.87……-0.5+j∞1S-1-0.887-0.5-0.5-j0.5-0.5-j0.87……-0.5-j∞2根轨迹是指开环系统某个参数由0变化到∞，闭环特征根在

2、s平面上移动的轨迹。j（1）系统为结构稳定系统。无论K为何值，其特征根始终位于复平面的左半平面。K=0.50.5（2）当00.25时，两个特征根为位于左半面的K=0.5-0.5一对共轭复根，系统处于欠阻尼状态。当K=0.25时，两个特征根为位于左半面的两个相等的实根，系统处于临界阻尼状态。（3）从根轨迹的分布，对于给定的K值，可以估计系统的主要动态性能。如K=0.5时，闭环特征根为-0.5±j0.5。20.7070.707％＝e1n2.根轨迹

3、方程R（s）C（s）G(s)－系统的闭环传递函数H(s)G(s)(s)1G(s)H(s)闭环特征方程即根轨迹方程为G(s)H(s)=–1arg[G(s)H(s)]j(2k1)G(s)H(s)e1eG(s)H(s)1arg[G(s)H(s)](2k1)k0,1,2将根轨迹方程写成根零轨迹、增极益点表示的矢量方程为：开环增益mmm(is1)(szi)(zi)G(s)H(s)Ki1K*i1*i1nnKKn(Tjs1)(spj)(p)jj1j1j1m*K(szj)j1(2k1)1e(k0,1,2

4、,)n(spi)i1模值方程和相角方程分别为：*K0m*K

5、szj

6、mnj1(sz)(sp)(2k1)1,jinj1i1

7、spi

8、i1m*K

9、szj

10、mnj1(sz)(sp)(2k1)1,jinj1i1

11、spi

12、i1例：系统的开环传递函数为*K(sz)1G(s)H(s)s(sp)(sp)23α2P2jωL3S1用角条件判断s1是否属于根轨迹L1arg(sz)[argsarg(sp)arg(sp)](2k1)L21111213α1β1()(2k1)σ112

13、3z1P1L4此点处的开环根轨迹增益α3*s1s1p2s1p3L2L3L4P3KszL11幅值条件和相角条件图示例利用相角条件绘制下所示系统的根轨迹。R(s)KC(s)•系统的开环传递函数为-s(s1)KG(s)H(s)Ims(s1)•确定实轴上的根轨迹正实轴实轴上原点与-1点之间-1点左边•在实轴外任取一点s1位于（-1，0）的垂直平分线•用模条件确定系数K的值-1Re根轨迹上点(0.5j0)所对应的K值K0.50.510.25根轨迹上点(0.5j0.5)所对应的KK0.5j0.50.5j0.510.5二、根轨迹绘制的基本规则法则1:根

14、轨迹的分支数：根轨迹在[s]平面上的分支数等于闭环特征方程的阶数n,也就是分支数=开环极点的数目=闭环极点的数目。nm*法则2:根轨迹对(s称p于j)实K轴：闭(s环极zi)点若0为实数，则位于实轴；j1若为复数则共i轭1出现，所以根轨迹对称于实轴。法只则需3：做根出轨上迹半的s平起面点的与根终轨点迹：部根分轨，迹然起后始利于用开对环称极关点，系即可终以止画于出开下环半零s平点面；的如根果轨开迹环部零分点数m小于开环极点数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零点)。证明：nm*(spj)K(szi)0j1i1根轨迹的起点是指根轨迹增益K*=0的根轨迹

15、点n(spj)0spj,j1,2nj1根轨迹的终点则是指根轨迹增益K*→∞的根轨迹点。nm1*(spj)(szi)0Kj1i111111111令s(p)(p)(p)(z)(z)(z)0*12n12mqKqqqqqq等式两端同时乘以qn，可得1nm(1pq)(1pq)(1pq)q(1zq)(1zq)(1zq)0*12n12mKnmq(1zq)(1