第十章 曲线积分与曲面积分

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1、-第十章曲线积分与曲面积分10.01填空(1)第二类曲线积分化成第一类曲线积分是，其中﹑﹑为上点处切向量的方向角。(2)第二类曲面积分化成第一类曲面积分是，其中﹑﹑为上点处的法向量的方向角10.02计算下列曲线积分：x2+y2=ax0axya/2Lθ(1),其中为圆周解：表示为参数方程:有(2),其中为曲线，，，解：----(3),其中为摆线，上对应从到的一段弧。解:(4)，其中是曲线上由到的一段弧。解:（5），其中L为上半圆周，沿逆时针方向。解:补直线段由格林公式,有Dyx02aa(x-a)2+y2=a2LA区域D的面

2、积又----（6），其中是用平面截球面所得的截痕，从轴的正向看去，沿逆时针方向解:，用参数方程表示为:10.03计算下列曲面积分：x0zyRH(10.03(1)图)（1），其中是界于平面及之间的原柱面解：投影到平面上的投影为其中x0zy∑∑1Dxyhx2+y2=h2(10.03(2)图)（2），----其中为锥面,的外侧。解：补平面上侧（如上页下图），与构成一封闭曲面：的外侧由高斯公式得:又故（3），其中为半球面的上侧x0zy∑∑1RRx2+y2=R2R解:补平面下侧,与构成一封闭曲面：的外侧；由高斯公式得:区域的体积又

3、，（4），其中为曲面的上侧。解:补平面下侧,与曲面构成一封闭曲面：的外侧；而----由高斯公式得：又（其中）（5），其中为曲面的外侧解：方法1:其中：方法2：补由高斯公式得:----而0xyA(0,1)B(0,y)C(x,y)10.04证明：在整个xOy平面的除去的负半轴及原点的开区域内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数证明：在整个平面除去y的负半轴及原点的开区域G内是某个二元函数的全微分。10.05设在半平面内有力构成力场，其中k为常数，；证明在此力场中场力所作的功与所取路径无关。证明：又故P(x,y),

4、Q(x,y)在单连通区域:半平面,有一阶连续偏导数。在此力场中场力所作的功与所取的路径无关。10.06求均匀曲面的重心的坐标解：曲面在xOy面投影为：----又是关于yoz面,xoz面对称,又区域的面积重心10.07设﹑在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为的正向边界曲线。证明：（1）（2）其中﹑分别是﹑沿L的外法线向量的方向导数,符号称二维拉普拉斯算子θθL证明：令为x轴正向到方向的转角为x轴正向到切线方向的转角则又根据格林公式：----（2）由（1）知同理由上两式作差：；证毕。10.08求向量通过区域：

5、，，的边界曲面流向外侧的通量解：由已知条件得所求通量为：的体积10.09求力沿有向闭曲线所作的功，其中为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从轴正向看去，沿顺时针方向解：取为平面下侧被围成,的单位法向量即,令为在xoy面的投影;由斯托克斯公式有：y1x11z0Dxyг----的面积-------