常微分方程第4章习题答案

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1、-习题4—11．求解下列微分方程1）解利用微分法得当时，得从而可得原方程的以P为参数的参数形式通解或消参数P，得通解当时，则消去P，得特解2）；解利用微分法得当时，得从而可得原方程以p为参数的参数形式通解：或消p得通解当时，消去p得特解3）解利用微分法，得两边积分得----由此得原方程以P为参数形式的通解：，或消去P得通解1．用参数法求解下列微分方程1）解将方程化为令由此可推出从而得因此方程的通解为，消去参数t，得通解对于方程除了上述通解，还有，，显然和是方程的两个解。2）解：令，又令则----积分得，由此得微分方程的通解为，3）解：令

2、则解得又----由此得微分方程的通解为，。习题4—21．得用P—判别式求下列方程的奇解：2）解：方程的P—判别式为消去p，得经验证可知是方程的解。令则有，和因此，由定理4.2可知，是方程的奇解。2）解：方程的P—判别式为，消去P，得，而不是方程的解，故不是方程的奇解。3）解：方程的P—判别式为，消去P，得，显然是方程的解，----令则有和因此，由定理4.2知，是方程的奇解。2．举例说明，在定理4.2的条件中的两个不等式是缺一不可的，解：考虑方程方程（1）的P—判别式为消去P，得令，于是有因此虽然有和但是又虽然是方程的解，且容易求出方程（

3、1）的通解为因此容易验证却不是奇解。因此由此例可看出。定理4.2中的条件是不可缺少的。又考虑方程方程（2）的P—判别式为消去P，得。令于是有，因此，虽然有和但，而经检验知是方程（2）的解，但不是奇解。因此由此例可看出定理4.2中的条件是不可缺少的。3．研究下面的例子，说明定理4.2的条件是不可缺少的----解：方程的P—判别式为消去P，得检验知不是解，故不是奇解，而虽然是解，但不是奇解。令，，所以虽有但是因此此例说明定理4.2的条件是不可缺少的。习题4——31．试求克莱罗方程的通解及其包络解：克莱罗方程（1）其中。对方程（1）求导值由即

4、时代入（1）得（1）的通解（2）它的C—判别式为由此得，----令故所以又（由于）因此满足定理4.5相应的非蜕化性条件。故是积分曲线族（2）的一支包络。课外补充1．求下列给定曲线族的包络。1）解：由相应的C—判别式消去C得C—判别曲线它的两支曲线的参数表示式为：，：，对，我们有∴因此满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故，是曲线族的两支包络线。2．解：由相应的C—判别式----消去C得C—判别曲线它的两支曲线的参数表示式为，，对，我们有因此满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，也满足定理

5、4.5的相应的非蜕化条件，故，是曲线族的两支包络线。3.证：就克莱罗方程来说，P—判别曲线和方程通解的C—判别曲线同样是方程通解的包络，从而为方程的奇解。证：已知克莱罗方程的形式为（1）（1）的通解为（2）（2）的包络由确定，即为（3）又知方程（1）还有解由此得，（4）而（4）是方程（1）的P—判别曲线，它和（3）有相同的形式，因而同样是通解（2）的包络，消去P得方程（1）的奇解。---