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《第6章 北大高微讲义库恩-塔克条件.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第1部分消费者行为理论•第1章消费者的最优决策•第2章比较静态分析•第3章显示偏好理论•第4章需求•第5章消费者的福利变化•第6章库恩---塔克条件•第7章不确定条件下的个人选择1第6章库恩---塔克条件（Kuhn—Tuckercondition）一、K—T条件•在最优化问题中，若–选择变量要求非负–约束条件是不等式则需要用K—T条件来解决问题。1、K—T条件初步理解（1）关于选择变量非负的要求Maxy=fx()s.tx.0³''f(x)£0,x³0,andf(xx)0×=2第6章库恩---塔克条件（2）关于约束条
2、件是不等式的要求：在（1）的基础上加入不等约束的要求Maxy=f(x,xx,)123x1（P1）s.t.g(x,x,)xr£12312g(x,x,)xr£1232且x,xx,0³1233第6章库恩---塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第一步：加入两个虚设变量s1、s2≥0，将（P1）处理成以下的等价形式（P2）。（即：去掉不等式约束条件）Maxy=f(x,xx,)123xs,1（P2）s.t.g(x,x,)x+=sr123112g(x,x,)x+=sr12322且x,x,x,ss,0³123124第6章库恩-
3、--塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第二步：假设去掉选择变量的非负要求，于是有：Z(x,x,x,ss,,ll,)123121212=f(x,x,x)+ll(r-g(x,x,x)-s)+(r--g(x,x,xs))123111231221232¶z¶¶zz（P2'）F.OC..0===¶x¶¶xx123¶¶zz==0¶¶ss12¶¶zz==0¶¶ll512第6章库恩---塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第三步：加上选择变量非负的要求。于是，F.OC..改写为：¶¶zz£0,x³0andxj×==01,2,
4、3(1)jj¶¶xxjj¶¶zz£0,s³0andsi×==01,2(2)ii¶¶ssii¶z=0(3)¶li6第6章库恩---塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导第四步：再加上不等式约束的要求（即消去si）。¶z由（2）式得，=-ll£00Þ³ii¶si于是（2）式可改写为：ll³0，ss³0且×=0(4)iiii¶zii由（3）式得，=r-g(×)-s=0Þs=rg-×()iiii¶liii于是（4）式可写成：r-g(×)³0，ll³0且（×rg-×()）=0(5)iiii¶zi如果在（P2'）中消去s，则有
5、=rg-×()ii¶li¶¶zz于是（5）式可写为³0，ll³0且×=0(6)ii¶¶ll7ii第6章库恩---塔克条件（3）关于（P1）最优解的推导最后，将式（1）和（6）结合在一起，便得到非负以及不等式约束下的（P1）最优解的条件，即K-T条件。¶¶zz£0,x³0andxj×==01,2,3jj¶¶xxjj¶¶zz³0,ll³0andi×==01,2ii¶ll¶iißßß边际条件非负条件互补松弛条件8第6章库恩---塔克条件2、K—T条件的标准形式•（1）极大值问题：Maxf(x,xx,...,)12nxis
6、.t.g(x,x,...,x)£=rim1,2,...,12nix,xx,...,0³12n9第6章库恩---塔克条件（1）极大值问题：拉格朗日函数：Z(x,xx,...,,ll,...,)121nmmi=f(x1,x2,...,xn)+-åli(ring(x12,xx,...,))i=1KT-条件：¶¶zz£0,x³0且x×==0jn1,2,...,jj¶¶xxjj¶¶zz³0,ll³0且×==0im1,2,...,ii¶¶llii10第6章库恩---塔克条件（1）极大值问题：数学定理：i如果f函数是凹函数，是g
7、凸函数，则K-T条件是极大值的充要条件。11第6章库恩---塔克条件（2）极小值问题：Minf(x,xx,...,)12nxis.t.g(x,x,...,x)³=rim1,2,...,12nix,xx,...,0³12n12第6章库恩---塔克条件（2）极小值问题：拉格朗日函数：Z(x,xx,...,,ll,...,)121nmmi=f(x1,x2,...,xn)+-åli(ring(x12,xx,...,))i=1KT-条件：¶¶zz³0,x³0且x×==0jn1,2,...,jj¶¶xxjj¶¶zz£0,ll³
8、0且×==0im1,2,...,ii¶¶llii13第6章库恩---塔克条件（2）极小值问题：数学定理：i如果f函数是凸函数，是g凹函数，则K-T条件是极小值的充要条件。14第6章库恩---塔克条件3、对K—T条件的理解（1）关于极大值问题的K—T条件Maxf(x,xx,...,)12nxis.t.g(x,x,...,x)£=rim1,2,...,12nix
