库恩——塔克定理在微观经济学中的应用

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1、库恩-塔克定理在微观经济学中的应用葛结根（中南财经政法大学经济学院武汉430060）摘要在经济学的许多问题中，需要运用不等式约束条件，而数学规划中的库恩-塔克定理是解决这些问题的恰当形式。库恩-塔克定理主要讨论原问题与库恩-塔克条件之间的关系，即研究原问题的最优解与满足库恩-塔克条件的点之间的关系。本文就微观经济学中的几个重要问题说明库恩-塔克定理的应用。关键词库恩-塔克条件成本最小化纳什均衡委托——代理问题一、成本最小化问题成本最小化问题是在给定产出水平的条件下，找到一种按最小成本生产的方法。我们以线性技术的成本函数来说明库恩-塔克定理的具体应用。假定生产函数，要素

2、1和要素2可以完全替代，因此，成本函数会采取如下形式：其中，和为两种要素的价格，为产量。为表述上的方便，我们令。此时，最小化问题为该问题的拉格朗日函数可写作库恩-塔克一阶条件为互补性松驰条件为；，若；，若现在要考察不等式约束起作用或不起作用的各种情形：①，。此时，除非，否则条件不能得到满足。②，。根据互补性松驰条件，。由一阶条件可得：，6。由于，故当时，这种情况便会出现。因为，所以。③，。用类似②中的方法可推出，其条件是。④，。由互补性松驰条件可知，，。这时，一阶条件给出：。如果起作用或不起作用的约束有N种，那么就会有2N种可能的最优构造。因此，必须考察每一个约束，以证实是

3、否与代表潜在的最优解所要求的每个条件都相容。一、纳什均衡解纳什均衡是关于行动和信念的均衡，在均衡状态中，（1）信念正确；（2）每一局中人不断选择战略，以便在给定信念下，最大化自己的期望效用。假定有两家厂商A和B，从事相互关联的两个项目，其采取的策略和支付矩阵如下表：B厂商除A厂商合作不合作合作2，10，0不合作0，01，2首先我们可找出纯战略中的纳什均衡，它包括对各种战略选择的最好反应（在某种程度上）的系统检验。若A厂商推测B厂商采取合作策略，A厂商合作将得到利润2，不合作会得到利润0，故合作是A厂商对B厂商执行合作策略的最好反应。另一方面，若A厂商采取合作策略，则B厂商的

4、最优反应是执行合作策略。因此，（合作，合作）是一个纳什均衡。类似地，（不合作，不合作）也是一个纳什均衡。现在用最优化来解决这个博弈问题。令为A厂商执行合作和不合作策略的概率，为B厂商执行合作和不合作策略的概率，则当事人A厂商的最大化问题为令、、为约束条件的库恩-塔克乘子，此时，拉格朗日函数为库恩-塔克条件为由于我们已经找出纯战略解，即已经考虑和的情况。故现在只需考虑6和的情况。由附加的松驰条件可知，，。又因为，所以，当，时，A厂商发现其执行混合战略是最优的。将混合战略数值代入目标函数可计算出A厂商此时得到的期望支付为。同样，对于B厂商而言，执行混合战略是最优的，得到的期望支

5、付也是。比较混合战略与纯战略，显然，两个厂商更倾向于选择一个纯战略，因为每一厂商都从纯战略中获得更高的支付。一、委托——代理问题在预测到合同签订后可能发生信息不对称的情况下，签约双方谋求设计一种可以减轻由此带来麻烦的合同。这种情况是当一个人聘用另一个人作为他的代理人，并由代理人替他采取行动时所特有的。因此，委托——代理问题主要是指合同设计问题。可以纳入委托——代理问题分析框架的经济关系范围十分广泛，如所有者与管理者，保险公司与投保人，银行与借款者等等。我们将集中讨论所有者——管理者问题。所有者想诱导管理者从事有代价的某种活动。所有者可能难以直接观察到管理者的活动，但却能观察

6、到至少部分地是由管理者的活动所决定的某一产出。在这种情况下，所有者的问题是设计出一种所有者给予管理者的有激励性的报酬，以诱导管理者采取被所有者认为是最好的行动。信息不对称问题一般分为两类，一类由隐藏行动引起；另一类由隐藏信息引起。我们将考虑隐蔽行动这种情形，并把委托——代理环境设定在委托人处于垄断状态，这种设定会对模型中的两个问题产生影响：一是代理人的保留效用水平是外生的，即它一般是与某一不相关的活动相联系的效用；二是委托人可获得利润的最大值是该问题的目标函数。委托——代理问题的核心是设计最优激励方案。因此，首先要确定引致每一种可能行动的最优激励方案，然后比较这些方案对委托

7、人的效用，以便委托人知道哪种方案花费最小。为便于分析，我们将作出几个假设。（1）存在有限个可能的产出水平。（2）代理人可采取两种行动，和，它们影响各种产出出现的概率。并令为代理人选择行动时产出水平被观察到的概率，为代理人选择行动时产出水平被观察到的概率；为当观察到时委托人给予代理人的报酬。现在我们要设计一个方案以引致某一行动，例如。令为当委托人设计出引导代理人选择行动的方案时可以获得的最大可能效用。这样，委托人的最大化问题是6其中：为保留效用，为效用函数，和分别为行动和的成本。条件之一是参与约束：代理人可能有另一个