指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

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1、指数函数与对数函数总结与练习一、指数的性质（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即：若，则叫做的次方根，说明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根16的4次方根）③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；④∴；⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。∴．．4．的次方根的性质一般地，若是奇数，则；若是偶数，则．5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）例2．已知，化简：

2、．（二）分数指数幂1．分数指数幂：即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，例如：若，则，，∴．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；（2）正数的负分数指数幂的意义是．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用即说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3．例题分析：例1．用分数指数幂的形式表示下列各式：，，.例2．计算下列各式的值（式中字母都是正

3、数）．（1）；（2）；例3．计算下列各式：（1）（2）．（三）综合应用例1．化简：.例2．化简：.例3．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数例1．求下列函数的定义域、值域：（1）（2）（3）例2．当时，证明函数是奇函数。例3．设是实数，，（1）试证明：对于任意在为增函数；（2）试确定的值，使为奇函数。三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N,就

4、是，那么数b叫做a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。即，指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明：1．在指数式中幂N>0，∴在对数式中，真数N>0．（负数与零没有对数）2．对任意且,都有∴，同样：．3．如果把中的写成，则有（对数恒等式）．3．介绍两种特殊的对数：①常用对数：以10作底写成②自然对数：以作底为无理数，=2.71828……，写成．例2．（1）计算：，（2）求x的值：①；②．（3）求底数：①，②．4．对数的运算性质：如果a>0，a¹1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．例3．计算：（1）lg1421g；（2）；5．换底公式：(a>0,a¹1

5、；)证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴，从而得：，∴．说明：两个较为常用的推论：（1）；（2）（、且均不为1）．证明：（1）；（2）．例4．计算：（1）；（2）．例5．已知，，求（用a,b表示）．．例6．设，求证：．四、对数函数1．对数函数的定义：函数叫做对数函数。2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为．（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形，即可获得。同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。11（图1）11（图2）（3）对数函数性质列表：图象性质（1）定义域：（2）值域

6、：（3）过点，即当时，（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在上是减函数例1．求下列函数的定义域：（1）；例2．比较下列各组数中两个值的大小：（1），；（3），.例3．比较下列比较下列各组数中两个值的大小：（2），；（3），，；例4．已知，比较，的大小。解：∵，∴，当，时，得，∴，∴．当，时，得，∴，∴．当，时，得，，∴，，∴．综上所述，，的大小关系为或或．例5．求下列函数的值域：（（3）（且）．例6．判断函数的奇偶性。例7．求函数的单调区间。指数函数和对数函数单元测试一选择题1.如果，那么a、b间的关系是【】ABCD2.已知，则函数的图象必定不经过【】A第一象限B第二象限C第三象

7、限D第四象限3.与函数y＝x有相同图象的一个函数是【】AB，且CD，且4.函数y=

8、log2x

9、的图象是（）A1xyOB1xyOC1xyOD1xyO5.已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是【】ABCD6.已知函数的值域是，则它的定义域是【】ABCD7.已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是【】ABCD8.设，则【】A．－2