指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

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1、一、指数的性质（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即：若，则叫做的次方根，例如：27的3次方根，的3次方根，32的5次方根，的5次方根．说明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根，记作：；（例如：8的平方根16的4次方根）③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；12④∴；⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。∴．．4．的次方根的性质一般地，若是奇数，

2、则；若是偶数，则．5．例题分析：例1．求下列各式的值：（1）（2）（3）（4）解：略。例2．已知，化简：．解：当是奇数时，原式当是偶数时，原式所以，．例3．计算：解：例4．求值：．解：（二）分数指数幂1．分数指数幂：即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；如果幂的运算性质（2）对分数指数幂也适用，例如：若，则，，∴．即当根式的被开方数不能被根指数整除时，根式也可以写成分数指数幂的形式。规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；12（2）正数的负分数指数幂的意义是．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂

3、的运算性质对于分数指数幂也同样适用即说明：（1）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3．例题分析：例1．用分数指数幂的形式表示下列各式：，，.解：=；=；=．例2．计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）；（2）；解（1）==；（2）==．例3．计算下列各式：（1）（2）．解：（1）====；（2）=．（三）综合应用例1．化简：.12解：===.例2．化简：.解：．评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决。

4、例3．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1），∴，又由得，∴，所以.（2）（法一），（法二）而∴，又由得，∴，所以.二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域是．2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：12图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数例1．求下列函数的定义域、值域：（1）（2）（3）（4）．解：（1）∴原函数的定义域是，令则∴得，所以，原函数的值域是．（2）∴原函数的定义域是，令则，在是增函数∴，所以，原函

5、数的值域是．（3）原函数的定义域是，令则，在是增函数，∴，所以，原函数的值域是．（4）原函数的定义域是，由得，12∴，∴，所以，原函数的值域是．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。例2．当时，证明函数是奇函数。证明：由得，，故函数定义域关于原点对称。∴所以，函数是奇函数。例3．设是实数，，（1）试证明：对于任意在为增函数；（2）试确定的值，使为奇函数。分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。（1）证明：设，则，由于指数函数在上是增函数，且，

6、所以即，又由，得，，所以，即．因为此结论与取值无关，所以对于取任意实数，在为增函数。评述：上述证明过程中，在对差式正负判断时，利用了指数函数的值域及单调性。（2）解：若为奇函数，则，即变形得：，12解得：，所以，当时,为奇函数。三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N,就是，那么数b叫做a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。即，指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明：1．在指数式中幂N>0，∴在对数式中，真数N>0．（负数与零没有对数）2．对任意且,都有∴，同样：．3．如果把中的写成，则

7、有（对数恒等式）．2．对数式与指数式的互换例如：例1．将下列指数式写成对数式：（1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）；（2）；（3）；（4）．3．介绍两种特殊的对数：①常用对数：以10作底写成②自然对数：以作底为无理数，=2.71828……，写成．例2．（1）计算：，．解：设则，,∴；令，∴,,∴．（2）求x的值：①；②．解：①；②但必须：，∴舍去，从而．（3）求底数：①，②．12解：①∴；②,∴．4．对数的运算性质：如果a>0，a¹1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．例3．计算：（1）lg1421g；（2

8、）；（3）．解：（1）解法一：；解法二：=；（2）；（3）=．5．换底公式：(a>0,a¹1；)证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴，从而得：，∴．说明：两个较为常用的推论：12（1）；（2）（、且均不为1）．证明：（1）；（2）．例4．计算：（1）；（2）．解：（1）原式=；（2）原式=．例5．已