指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详解)

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1、一、指数的性质(一)整数指数幂1.整数指数幂概念:2.整数指数幂的运算性质:(1)(2)(3)其中,.3.的次方根的概念一般地,如果一个数的次方等于,那么这个数叫做的次方根,即:若,则叫做的次方根,例如:27的3次方根,的3次方根,32的5次方根,的5次方根.说明:①若是奇数,则的次方根记作;若则,若则;②若是偶数,且则的正的次方根记作,的负的次方根,记作:;(例如:8的平方根16的4次方根)③若是偶数,且则没意义,即负数没有偶次方根;12④∴;⑤式子叫根式,叫根指数,叫被开方数。∴..4.的次方根的性质一般地,若是奇数,

2、则;若是偶数,则.5.例题分析:例1.求下列各式的值:(1)(2)(3)(4)解:略。例2.已知,化简:.解:当是奇数时,原式当是偶数时,原式所以,.例3.计算:解:例4.求值:.解:(二)分数指数幂1.分数指数幂:即当根式的被开方数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式;如果幂的运算性质(2)对分数指数幂也适用,例如:若,则,,∴.即当根式的被开方数不能被根指数整除时,根式也可以写成分数指数幂的形式。规定:(1)正数的正分数指数幂的意义是;12(2)正数的负分数指数幂的意义是.2.分数指数幂的运算性质:整数指数幂

3、的运算性质对于分数指数幂也同样适用即说明:(1)有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用;(2)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没意义。3.例题分析:例1.用分数指数幂的形式表示下列各式:,,.解:=;=;=.例2.计算下列各式的值(式中字母都是正数).(1);(2);解(1)==;(2)==.例3.计算下列各式:(1)(2).解:(1)====;(2)=.(三)综合应用例1.化简:.12解:===.例2.化简:.解:.评述:此题注重了分子、分母指数间的联系,即,由此联想到平方差公式的特点,进而使问题得到解决。

4、例3.已知,求下列各式的值:(1);(2).解:(1),∴,又由得,∴,所以.(2)(法一),(法二)而∴,又由得,∴,所以.二、指数函数1.指数函数定义:一般地,函数(且)叫做指数函数,其中是自变量,函数定义域是.2.指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质:12图象性质(1)定义域:(2)值域:(3)过点,即时(4)在上是增函数(4)在上是减函数例1.求下列函数的定义域、值域:(1)(2)(3)(4).解:(1)∴原函数的定义域是,令则∴得,所以,原函数的值域是.(2)∴原函数的定义域是,令则,在是增函数∴,所以,原函

5、数的值域是.(3)原函数的定义域是,令则,在是增函数,∴,所以,原函数的值域是.(4)原函数的定义域是,由得,12∴,∴,所以,原函数的值域是.说明:求复合函数的值域通过换元可转换为求简单函数的值域。例2.当时,证明函数是奇函数。证明:由得,,故函数定义域关于原点对称。∴所以,函数是奇函数。例3.设是实数,,(1)试证明:对于任意在为增函数;(2)试确定的值,使为奇函数。分析:此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。还应要求学生注意不同题型的解答方法。(1)证明:设,则,由于指数函数在上是增函数,且,

6、所以即,又由,得,,所以,即.因为此结论与取值无关,所以对于取任意实数,在为增函数。评述:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性。(2)解:若为奇函数,则,即变形得:,12解得:,所以,当时,为奇函数。三、对数的性质1.对数定义:一般地,如果()的次幂等于N,就是,那么数b叫做a为底N的对数,记作,a叫做对数的底数,N叫做真数。即,指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明:1.在指数式中幂N>0,∴在对数式中,真数N>0.(负数与零没有对数)2.对任意且,都有∴,同样:.3.如果把中的写成,则

7、有(对数恒等式).2.对数式与指数式的互换例如:例1.将下列指数式写成对数式:(1);(2);(3);(4).解:(1);(2);(3);(4).3.介绍两种特殊的对数:①常用对数:以10作底写成②自然对数:以作底为无理数,=2.71828……,写成.例2.(1)计算:,.解:设则,,∴;令,∴,,∴.(2)求x的值:①;②.解:①;②但必须:,∴舍去,从而.(3)求底数:①,②.12解:①∴;②,∴.4.对数的运算性质:如果a>0,a¹1,M>0,N>0,那么(1);(2);(3).例3.计算:(1)lg1421g;(2

8、);(3).解:(1)解法一:;解法二:=;(2);(3)=.5.换底公式:(a>0,a¹1;)证明:设,则,两边取以为底的对数得:,∴,从而得:,∴.说明:两个较为常用的推论:12(1);(2)(、且均不为1).证明:(1);(2).例4.计算:(1);(2).解:(1)原式=;(2)原式=.例5.已

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