指数函数和对数函数复习(有详细知识点和习题详-解)--补课

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1、第六讲指数函数和对数函数指数函数和对数函数都是基本初等函数，是高中必须掌握的，在高考中，主要是考查基础知识。要求掌握扩充后指数的运算，对数的运算，指数函数和对数函数的图像和性质。一、指数的性质（一）整数指数幂1．整数指数幂概念：2．整数指数幂的运算性质：（1）（2）（3）其中，．3．的次方根的概念一般地，如果一个数的次方等于，那么这个数叫做的次方根，即：若，则叫做的次方根，例如：27的3次方根，的3次方根，32的5次方根，的5次方根．说明：①若是奇数，则的次方根记作；若则，若则；②若是偶数，且则的正的次方根记作，的负的次方根

2、，记作：；（例如：8的平方根16的4次方根）③若是偶数，且则没意义，即负数没有偶次方根；④∴；⑤式子叫根式，叫根指数，叫被开方数。∴．4．的次方根的性质一般地，若是奇数，则；若是偶数，则．5．例题分析：例．计算：解：（二）分数指数幂1．分数指数幂：即当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以写成分数指数幂的形式；20幂的运算性质对分数指数幂也适用，例如：若，则，，∴．规定：（1）正数的正分数指数幂的意义是；（2）正数的负分数指数幂的意义是．2．分数指数幂的运算性质：整数指数幂的运算性质对于分数指数幂也同样适用，即：说明：（1

3、）有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没意义。3．例题分析：【例1】用分数指数幂的形式表示下列各式：，，.解：=；=；=．【例2】计算下列各式的值（式中字母都是正数）．（1）；（2）；解（1）（2）==．==；例3．计算下列各式：（1）（2）．解：（1）==（2）=．20==；【例3】已知，求下列各式的值：（1）；（2）.解：（1），∴，又由得，∴，所以.（2）（法一），（法二）而∴，又由得，∴，所以.二、指数函数1．指数函数定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是

4、自变量，叫底数，函数定义域是．2．指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质：图象性质（1）定义域：（2）值域：20（3）过定点，即时（4）在上是增函数（4）在上是减函数【例1】求下列函数的定义域、值域：（1）（2）（3）（4）．解：（1）∴原函数的定义域是，令则∴得，所以，原函数的值域是．（2）∴原函数的定义域是，令则，在是增函数∴，所以，原函数的值域是．（3）原函数的定义域是，令则，在是增函数，∴，所以，原函数的值域是．（4）原函数的定义域是，由得，∴，∴，所以，原函数的值域是．说明：求复合函数的值域通过换元可转换为求简单

5、函数的值域。【例2】当时，证明函数是奇函数。证明：由得，，故函数定义域关于原点对称。∴20所以，函数是奇函数。三、对数的性质1．对数定义：一般地，如果（）的次幂等于N,就是，那么数b叫做a为底N的对数，记作，a叫做对数的底数，N叫做真数。即，。指数式底数幂指数对数式对数的底数真数对数说明：1．在指数式中幂N>0，∴在对数式中，真数N>0．（负数与零没有对数）2．对任意且,都有∴，同样：．3．如果把中的写成，则有（对数恒等式）．2．对数式与指数式的互换例如：，；，；，；，。【例1】将下列指数式写成对数式：（1）；（2）；（3）

6、；（4）．解：（1）；（2）；（3）；（4）．3．介绍两种常见的对数：①常用对数：以10作底简写成；②自然对数：以作底为无理数，=2.71828……，简写成．【例2】（1）计算：，．解：设则，,∴；令，∴,,∴．（2）求x的值：①；②．解：①；②但必须：，∴舍去，从而．（3）求底数：①，②．20解：①∴；②,∴．4．对数的运算性质：如果a>0，a¹1，M>0，N>0，那么（1）；（2）；（3）．【例3】计算：（1）lg1421g；（2）；（3）．解：（1）解法一：；解法二：=；（2）；（3）=．5．换底公式：(a>0,a¹1

7、；)证明：设，则，两边取以为底的对数得：，∴，从而得：，∴．说明：两个较为常用的推论：（1）；（2）（、且均不为1）．20证明：（1）；（2）．【例4】计算：（1）；（2）．解：（1）原式=；（2）原式=．【例5】已知，，求（用a,b表示）．解：∵，∴，∴，又∵，∴，∴．【例6】设，求证：．证明：∵，∴，∴．四、对数函数1．对数函数的定义：函数叫做对数函数。2．对数函数的性质：（1）定义域、值域：对数函数的定义域为，值域为．（2）图象：由于对数函数是指数函数的反函数，所以对数函数的图象只须由相应的指数函数图象作关于的对称图形

8、，即可获得。11（图1）同样：也分与两种情况归纳，以（图1）与（图2）为例。11（图2）20（3）对数函数性质列表：图象性质（1）定义域：（2）值域：（3）过点，即当时，（4）在（0，+∞）上是增函数（4）在上是减函数【例1】求下列函数的定义域：（1）；（2）；（3）．分析：此题主要利用对