基本初等函数经典总结

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1、第十二讲基本初等函数一：教学目标1、掌握基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数）的基本性质；2、理解基本初等函数的性质；3、掌握基本初等函数的应用，特别是指数函数与对数函数二：教学重难点教学重点：基本初等函数基本性质的理解及应用；教学难点：基本初等函数基本性质的应用三：知识呈现1.指数与指数函数1).指数运算法则：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）（6）2).指数函数：形如指数函数01图象表达式定义域值域过定点单调性单调递减单调递增2.对数函数1）对数的运算：1、互化：2、恒等：3、换底：-8-推论1推论2推论31、2、

2、2）对数函数：对数函数01图象表达式定义域值域过定点(1，0)单调性单调递减单调递增3.幂函数一般地，形如（）的函数叫做幂函数，其中a是常数1)性质：(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义，并且图象都通过点(1,1);(2)如果α＞０，则幂函数图象通过（0，0），并且在区间[0,+∞)上是增函数；-8-(3)如果α＜０，则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限逼近x轴。四：典型例题考点一：指数函数例1　已知，则x的取值范围是_

3、__________．　　分析：利用指数函数的单调性求解，注意底数的取值范围．　　解：∵，　　∴函数在上是增函数，　　∴，解得．∴x的取值范围是．　评注：利用指数函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与1的大小，对于含有参数的要注意对参数进行讨论．　例2　函数在区间上有最大值14，则a的值是_______．　　分析：令可将问题转化成二次函数的最值问题，需注意换元后的取值范围．　　解：令，则，函数可化为，其对称轴为．　　∴当时，∵，　　∴，即．　　∴当时，．　　解得或（舍去）；　　当时，∵，　　∴，即，　　∴

4、时，，　　解得或（舍去），∴a的值是3或．　　评注：利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用，比如：换元法，整体代入等．例3　求函数的定义域和值域．　　解：由题意可得，即，-8-　　∴，故．∴函数的定义域是．　　令，则，　　又∵，∴．∴，即．　　∴，即．　　∴函数的值域是．　　评注：利用指数函数的单调性求值域时，要注意定义域对它的影响．例4求函数y＝的单调区间.分析这是复合函数求单调区间的问题可设y＝,u＝x2-3x+2，其中y＝为减函数∴u＝x2-3x+2的减区间就是原函数的增区间(即减减→增)u＝x2-3x+2的增区间就是原函数

5、的减区间(即减、增→减)解：设y＝,u＝x2-3x+2,y关于u递减，当x∈(-∞，)时，u为减函数，∴y关于x为增函数；当x∈［，+∞)时，u为增函数，y关于x为减函数.考点二：对数函数例5 求下列函数的定义域（1）y=log2（x2-4x-5）;（2）y=logx+1（16-4x）（3）y=．解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0，故定义域为 ｛x｜x＜-1，或x＞5｝．-8-（2）令得故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝．（3）令，得故所求定义域为｛x｜x＜-1-，或-1-＜x＜-3,或x≥2｝．说明

6、 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．例6 比较大小：（1）log0．71．3和log0．71．8．（2）（lgn）1．7和（lgn）2（n＞1）．（3）log23和log53．（4）log35和log64．解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以log0．71．3＞log0．71．8．（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，

7、y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53．（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题

8、，可直接利用例2中的说明得到结论．例7 已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y取最大值时，x的值．-8-分析 要求函数y=［f（x）］2+