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时间:2018-11-09
《三角形四心的向量性质与应用(教师用答案解析版)2013年05》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、WORD格式可编辑三角形“四心”的向量性质及其应用三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点:重心将中线长度分成2:1;(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心):外心到三角形各顶点的距离相等;(3)垂心—三条高线的交点:高线与对应边垂直;(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心):角平分线上的任意点到角两边的距离相等.工具:为内一点,则有:证明:延长交于,如图必有:,,;---(*)由共线,得:进而得:----------------①由共线,得:----------②由①②得:代入(*)结论得消去分母得:证毕.另证:作,如图:为平
2、行四边形;由.专业技术资料分享WORD格式可编辑反方向思考:设在的内部,若有正实数满足:, 必有:.证明:作:,, 则,则为的重心,则:.设为又 从而得:.验证式思考:先证引理:若不共线,对,有且,必有 证明:若必有且,得,与题设矛盾,故必有再证:设,,则;由;有对称性知:,又,不共线,故:必有成立.一、三角形的重心的向量表示及应用知识:是的重心(为该平面上任意一点)略证:,得:.变式:已知分别为的边的中点.则.二、三角形的外心的向量表示及应用知识:是的外心专业技术资料分享WORD格式可编辑略证:,得:常用结论:是的外心三
3、、三角形的垂心的向量表示及应用知识:是的垂心略证:,得:扩展:若是的外心,点满足:,则是的垂心.证明:如图:为直径,为垂心,为外心,为中点;有:进而得到:且,即:;又易知:;故:,即:.又:(为重心),故:;故:得到欧拉线:的外心,重心,垂心三点共线(欧拉线),且.证毕.四、三角形的内心的向量表示及应用知识:是的内心注:式子中,为任一点.专业技术资料分享WORD格式可编辑略证:,得之.五.欧拉线:的外心,重心,垂心三点共线(欧拉线),且.(前已证)测试题一.选择题1.是所在平面上一定点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.
4、垂心2.(03全国理4)是所在平面上一定点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.垂心3.是所在平面上一定点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.垂心4.是所在平面上一定点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的()A.外心B.内心C.重心D.垂心5.是所在平面上一定点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的().A.外心B.内心C.重心D.垂心6.是所在平面上一定点,动点满足,,则点的轨迹一定通过的().A.内心B.垂心C.重心D.AB边的中点7.已知是的重心,动点满足,则点一定为的()A.AB边中线的中点
5、B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点8.在中,动点满足:,则点轨迹一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心9.已知三个顶点及平面内一点,满足,若实数满足:,则的值为()A.2B.C.3D.610.设点是内一点,用表示的面积,令,,.专业技术资料分享WORD格式可编辑定义,若则()A.点在内B.点在内C.点在内D.以上皆不对11.若的外接圆的圆心为,半径为1,,则()A.B.0C.1D.12.是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,若,则是的()A.外心B.内心C.重心D.垂心13.(06陕西)已知非零向量与满足且,
6、则△ABC为()A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形14.已知三个顶点,若,则为()A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.直角三角形D.既非等腰又非直角三角形二.填空题15.的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,,则实数m=1.16.中,,为重心,则.17.点在内部且满足,则3.18.点在内部且满足,则4.19.已知中,,为的内心,且,则.20.已知中,,为的外心,且,则.21.已知为锐角的外心,,若,则.22.在中,,则.三.解答题BCAMNG23.如图,已知点是的重心,过作直线与两边分别交于两点,且,,求证
7、:.解:由三点共线,得:--------①又是的重心专业技术资料分享WORD格式可编辑得:---------②由①②得:,消去得:.24.设在的内部,若有正实数满足:,求证:.证明:作:,,则,则为的重心,则:.设为又从而得:25.已知向量,,满足条件++=,
8、
9、=
10、
11、=
12、
13、=1,求证:为正三角形.证明:由++=+=平方得:从而得:同理可得:,即为正三角形.26.在中,,求从顶点出发的两条中线的夹角的余弦值.解:设,则且;则故:专业技术资料分享WORD格式可编辑27.已知是的垂心,且,试求∠的度数.解:设的外接圆半径为,点是的外心。∵是的垂心∴∴,∴
14、∵,∴∵,∴∴而∠为的内角,∴从而或∴∠的度数为或.28.已知,试写出△的重心,外心,和垂心的坐标,并证明三
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