高一三角形“四心”的向量性质及其应用(含解析).pdf

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1、学案：三角形“四心”的向量性质及其应用(答案)一．三角形“四心”的概念介绍(1)重心—三条中线的交点：重心将中线长度分成2：1；(2)外心—三边中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等；(3)垂心—三条高线的交点：高线与对应边垂直；(4)内心—三条内角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等．二．基础知识与相关例题1.奔驰定理：O为△ABC内一点，则有：S⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0∆OBC∆OCA∆OAB证明：先证一个引理：若O为△ABC内一点，且AO=λAB+µACSS∆AOC∆AOB则=λ，=µ.

2、（这本身就是一个结论，且很好用）ASS∆ABC∆ABC证明：延长AO交BC于D点，如图所示：因为O为三角形内一点，故必有O在线段AD上（不含端点）OD在线段BC上（不含端点）BDC因此可设BD=x⋅BC，AO=y⋅AD，其中00，µ=xy>0，且λ+µ=y<1.注：以上此法常

3、用于确定系数的取值范围。（在你写的证明中，以上可以默认）故：AO=λAB+µAC时，若O为△ABC内一点，则必有λ>0，µ>0且λ+µ<1；若λ>0，µ>0且λ+µ<1，则必O为△ABC内一点.A下面确定O点的准确位置.B1以AO为对角线，作平行四边形ABOC如图所示：11C1O显然AO=AB+AC，按条件AO=λAB+µAC11BC故必有AB=λAB，AC=µAC11AB1S∆AB1CS∆AOCAC1S∆AOB故必有λ===，同理µ==.证毕.ABSSACS∆ABC∆ABC∆ABC注：∆ABC与∆ABC都以C为顶点，故等高，故底边长之比即为面积之

4、比；1∆ABC与∆AOC这两个三角形等底等高，故面积相等.1---1---A重申以上引理：若O为△ABC内一点，且AO=λAB+µAC.SSS∆AOC∆AOB∆BOC则=λ，=µ，=1−λ−µ.SSSO∆ABC∆ABC∆ABCBC下证：奔驰定理SS证明：由引理可得：对于△ABC内一点O，必有AO=∆AOC⋅AB+∆AOB⋅ACASS∆ABC∆ABC用O点拆开即可，过程如下：以上等式可整理为S∆AOCS∆AOBO−OA=⋅(OB−OA)+⋅(OC−OA)S∆ABCS∆ABCBC两边乘以S整理可得：−S⋅OA=S⋅(OB−OA)+S⋅(OC−OA)∆A

5、BC∆ABC∆AOC∆AOB移项整理为(S−S−S)⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0∆ABC∆AOC∆AOB∆AOC∆AOBA即得S⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0，奔驰定理得证.∆OBC∆OCA∆OABSCSOB注：若简记三个面积：S∆OBC=SA，S∆OCA=SB，S∆OAB=SC；SACB则奔驰定理可写成更好看的形式，即S⋅OA+S⋅OB+S⋅OC=0.ABC应用：设O在∆ABC的内部，若有正实数λ,λ,λ满足：λ⋅OA+λ⋅OB+λ⋅OC=0，123123则必有：S:S:S=λ:λ:λ.∆BOC∆COA∆AOB123证明：（本来这个就是奔驰定理

6、，为了不重复证明，故下面选择另一种证明方式！）作：OA'=λ⋅OA，OB'=λ⋅OB，OC'=λ⋅OC，则OA'+OB'+OC'=0，123即O为∆A'B'C'的重心,故必有S=S=S.设此面积为S.∆B'OC'∆C'OA'∆A'OB'OA'OB'OC'A'因为λ=，λ=，λ=，123OAOBOCSOB'OC'S∆B'OC'故=⋅=λλ，故=λλ2323SOBOCSA∆BOC∆BOCSS即S∆BOC==⋅λ1；BOλλλλλC23123SSC'同理S=⋅λ，S=⋅λ；∆COA2∆AOB3B'λλλλλλ123123故得：S:S:S=λ:λ:λ.证毕

7、.∆BOC∆COA∆AOB123例1．点O在∆ABC内部且满足OA+2OB+3OC=0，则S:S=．填：3∆ABC∆AOCA解析：法1：由奔驰定理易知：S:S:S=3:2:1，故S:S=2:6=3∆BOC∆COA∆AOB∆ABC∆AOCE法2：OA+2OB+3OC=OA+OC+2(OB+OC)=2OE+4OD=0O（取E为AC的中点，D为BC的中点）BDC21易得：E,O,D三点共线，且EO=2OD，从而得到：S=S=S.∆AOC∆ADC∆ABC33---2---21例2．点O在∆ABC内部且满足AO=AB+AC，则S:S=．∆ABC∆AOB552

8、1S1∆AOB解析：法1：由AO=AB+AC，直接用引理中的结论可得=，故填：5.55S5∆ABC21法2：AO=AB+A