几类分数阶偏微分方程的有限元方法研究

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1、．＇－？一：ＪＤ２０１４７７００４学耳分类号学巧代码１０４８７密级＾博±学位论文几类分数瞒偏微分方程的有限元方法研究学位申请人：李猛＾学科专业：计算巧学指导教师：黄乘明教授答辩：丽年５月１０日日期ｍｍ＿＿＿＿．二＇■？＇存主＇ｆＶ；？Ｉｆｉ？＇．？ＡＤｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎＳｕｂｍｉｔｔｅｄｉｎＰａｒｔｉａｌＦｕｌｆｉｌｌｍｅｎｔｏｆ也ｅ民ｅｕｉｒｅｍｅｎｔｓｑｆｏｒｔｈｅＤｅｇｒｅｅｏｆＤｏｃｔ

2、ｏｒｏｆＰｈｉｌｏｓｏｐｈｙｉｎＳｃｉｅｎｃｅＦｉｎｉｔｅＥｌｅｍｅｎｔＭｅｔｈｏｄｓ化ｒＳｏｍｅＴｙｐｅｓｏｆＦｒａｃｔｉｏｎａｌＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓＰｈ．Ｄ．Ｃａｎｄｉｄａｔｅ：ＬｉＭｅｎｇＭａｏｒ：ＣｏｍｕｔａｔｉｏｎａｌＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓｊｐＳｕｐｅｒｖｉｓｏｒ：Ｐｒｏｆ．ＨｕａｎｇＣｈｅｎｇｍｉｎｇＨｕａｚｈｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ

3、ｙｏＷｕｈａｎ４３００７４，ＲＲ．ＣｈｉｎａＭａｙ，２０巧独创性声明本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研■究成果，，本论文不包含任何其他人或集体已。尽我所知除文中已标明引用的内容外经发表或撰写过的研究成果，均已在文中Ｗ明。对本文的研巧做出贡献的个人和集体确方式标明。。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担学位论文作者签名：日親》＞／年Ｘ月文谷日／学位论文版权使用授权书本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文

4、的规定，即；学校有权保留并向国家有关部口或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可Ｗ将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可Ｗ采用影印。、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文保密□，在年解密后适用本授权书。本论文属于，不保密台＾＂＂（请在Ｗ上方框内打Ｖ）：学位论文作者签名：指导教师签名束承明日期：＞年１月之名日日親ｒ月日＾产华中科技大学博去学位论文摘要由于分数阶导数的非局部性质，带分数阶导数的模型

5、能够更精确地描述具有记忆和遗传性质的材料与物理过程．在过去的二十年里，分数阶偏微分方程作为整数阶偏微分方程的推广，在高能物理、粘弹性力学、系统控制、金融等领域得到了很广泛的应用．但是，由于分数阶偏微分方程的解析解通常很难求出，或者即使能够求出也往往ａ－Ｌｅｆｉｅｒ函数含有诸如Ｍｉｔｇ、Ｗｒｉｇｈｔ函数、Ｈ函数Ｗ及超几何画数等复杂且难Ｗ计算的特殊函数．，这给实际计算带来了很大的困难因此，利用数值方法求解该类方程越来越受到学者们的关注．本博±论文主要考虑几类分数阶偏微分方程的有限元数

6、值解法，诸如哥维空间时间多项分数阶扩散方程，二维非线性时空分数阶扩散波动方程，非线性空间分数阶ＳｃｈｒＳｄｉｎｚｂｕｒ－Ｌ论文包括ｉｎｇｅｒ方撞Ｗ及非线性空间分数阶Ｇｇａｎｄａｕ方程．整个如下六个部分：一第章．，，我们简要介绍分数阶微积分的发展历史、应用背景Ｗ及研究现状同时．最后我们详细介绍了分数阶微分方程的有限元方法研巧现状，我们给出本文的研究动机及其工作概要．第二章一，我们介绍分数阶导数的各种定义及性质，并引入维和二维分数阶导数空陆一一Ｇ第Ｈ章对类高维空间上的时间

7、多项分数阶扩散方程引入非致网格ａｌｅｒｋｉｎ有限元格式，证明了格式的稳定性及收敛性，并从数值试验上验证了该格式的有效性．一第四章讨论类二维非线性时空分数阶扩散波动方程．为克服高维问题的困难我，们在时间方向上进行了解稱Ｃｒａｎｋ－ＮｉｃｏｌｓｏｎＡＤＩＧａｌｅｒｋｉｎ有限，进而构造该类方程的．我们详细证明了格式的稳定性及其收敛性元格式，并通过数值算例来验证这些理论结果．第五章考虑非线性空间分数阶Ｓｃｈｒｉｉｄｉｎｇｅｒ方程．我们构造了同时满足质量守恒Ｗ及能量守恒的有限元半离散

8、及全离散格式，并分析了格式的适定性、保能性Ｗ及收敛性．在数值模拟中．，我们验证了理论的正确性Ｗ及数值方法的可行性第六章主要研究非线性空间分数阶Ｇｉｎｚｂｕｒ－Ｌａｎｄａｕ方程的隐式中点有限元格式ｇ，我们证明了离散解的有界性．，格式的适定性Ｗ及在以范数意义下的无条件收敛性进而通过数值算例验证了理论分析的正确性：有限元方法关键词；多项时间分数阶扩散方程；时空分数阶扩散波动方程；分数阶Ｓｃｈｄ－ｒｄｉｎｅｒＧｉｎｚｂｕｒＬ