浙江大学数学分析试题及解答

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1、浙江大学2005年数学分析解答一（10分）计算定积分解：=由分部积分法+2所以，所以=解毕二（10分）设在可积，且，计算解：因为在可积，所以，所以因为，所以与等价且极限值相等由积分的定义：=4解毕三（15分）设为实数，且试确定的值，使得解：若，显然，这与矛盾，所以计算，利用洛必达法则：，易有，若，，矛盾，所以.计算，继续利用洛必达法则：解毕四（15分）设在上连续，且对每一个，存在，使得，证明：在存在使得证明:反证法,由于在上连续,由闭区间上连续函数的性质,不妨假设对于任选的一点,存在使得,存在使得所以即,但对所有

2、的x,,矛盾.所以存在零点证毕五（20分）（1）设在上连续，且收敛。证明存在数列满足条件（2）设在上连续，且收敛，问是否必有？为什么？证明：（1）因为收敛，所以对于任意的，存在时考虑，由积分中值定理，存在，使得，将记做，易见当时，，即证毕（2）不一定有.举一个例子:是这样一个函数:显然函数=,但(因为在整点处函数值为1)解毕六（20分）设在上具有二阶连续导数，且已知和均为有限数。证明：（1）对任何均成立.（2）也是有限数，并且满足不等式.证明:(1)考虑在t处展开:=,t>0,整理一下有:,,所以所以证毕(2)因

3、为对任何均成立.取,所以,所以也是有限数，并且满足不等式.证毕七（10分）在可积，且收敛，证明：证明:因为收敛,所以使得在上因为可积,由引理即:当时所以当时,即:证毕八（15分）（1）将展开为幂级数，求收敛半径.（2）利用（1）证明：.（3）利用（2）中公式近似计算的值，需要用多少项求和，误差会不超过（为自然数）解：（1）由幂级数理论=由收敛半径的求法收敛半径：（2）在级数中，令，由莱布尼茨对交错级数的判别法，级数收敛，所以（3）对于误差的计算，取决于余项，不妨近似地用代替余项，，所以所以至少计算项，这里是取整函

4、数.解毕九（15分）设是上径向函数，即存在一元函数使得若，求满足的方程及函数.解：，所以由所以，所以所以这里均为常数。所以解毕十（25分）(1)设是上，周期为的函数（）,且。利用的级数展开证明：，等号成立当且仅当存在常数，使得（2）设是上具有光滑边界的连通区域，设是的面积，则其中向量场，，是x轴和y轴的单位向量.，是边界的单位外法向量，是边界的弧长微分.（3）设同上，是的边界的长度，利用（1），（2）证明：等号成立当且仅当是圆盘.证明：（1）因为是上，所以均是连续函数，所以满足等式，又注意到所以这里均为的系数，由

5、级数理论可得：的系数为，由等式：，显然如若等号成立，说明，由的级的复数形式：存在常数，使得证毕（2）证明：=，所以将第一类曲线积分向第二类曲线积分转化：=证毕(3)将坐标看作是弧长的函数，因为有：所以：，令，是周期为的函数由格林公式和（2）的结果。可以得到下面的结论：考虑：***由（1）的结论：代入***，有即：，即证毕