陈家鼎数理统计学讲义第三章答案.pdf

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1、第三章假设检验兰州大学数学与统计学院2012级来耀华lyhjj138@sina.com1.设X1;X2;X3是来⾃Bernoullib(1;p)分布的样本,检验问题:H:p=1$H:p=302a4的⼀个否定域为W=f(x1;x2;x3):x1+x2+x32g试求该否定域的第⼀、⼆类错误的概率和p=3时的功效.4解:由题⽬可知x1+x2+x3B(3;p).第⼀类错误:H0为真拒绝H011w()=Pf(x1;x2;x3)2Wp=g221=Pfx1+x2+x32p=g2=3Pfx1=1;x2=1;x3=0g+Pfx1=x2=x

2、3=1g1=:2第⼆类错误:H0为假接受H033w()=Pf(x1;x2;x3)̸2Wp=g443=Pfx1+x2+x3<2p=g4()()3312313=()()+()144345=32p=3时的功效为4(p)=Pf(x;x;x)2Wp=3g=15=27.w123432322.设X1;X2;


;Xn是来⾃密度函数为f(x)的总体的样本,关于f(x)有假设检验问题:H0:f(x)=f0(x)$Ha:f(x)=f1(x)其中f0(x)和f1(x)都是已知函数,令W为假设H0的否定域,试通过f0(x)和f1(x)表⽰两类错误

3、的概率.(f0(x)不恒等于f1(x)).解:∏n∏n求得似然函数分别为L(x;f0)=f0(Xi)L(x;f1)=f1(Xi).i=1i=1∏n由N-P引理,可得否定域W=f1(Xi)>.f0(Xi)0i=1第⼀类错误w(f0)=Pf(X1;X2;


;Xn)2Wf=f0g∫=f0(x)dx∫W=∏nf0(x)dxf1(Xi)>0f0(Xi)i=1第⼆类错误1w(f1)=1Pf(X1;X2;


;Xn)2Wf=f1g∫=1∏nf1(x)dx:f1(Xi)>0f0(Xi)i=13.设X是(1;+1)上的

4、均匀分布的⼀个观测值,考虑假设检验问题:222H0:3$Ha:4构造检验法,使其功效函数()满⾜()=0;当3;()=1;当4(即两类错误概率均为零).解:由题⽬，要构造功效函数()使得3时,()=0且4时,()=1,即要构造否定域W使得PfX2W3g=0且PfX2W4g=1.3时(1;1)位于(2:5;3:5)左侧,因此只需选择W=[3:5;1)即221可得到PfX2W3g=0.4时(1;1)位于(3:5;4:5)右侧,因此只需选择W=[3:5

5、;1)即222可得到PfX2W3g=1.综上,选择否定域为W=W1W2=[3:5;1)即可.6.设XN(;2);已知,X;X;


;X是X的样本.试分别求出0012n下列检验问题:(1)H:22$H:2>2(已知)00a00(2)H:22或22$H:2<2<2(;已知;<)012a121212的UMP检验.解:21(x2)密度函数为f(x;)=pexp(0)222因此V(x)=(x)2,Q(2)=1,显然Q(2)是2的严格递增函数.022(1)于是

6、有UMP拒绝域∑n∑nW=fV(X)>Cg=f(X)2>Cg,0ii0i=1i=1并且满⾜3PfX2Wj2g=,00即∑nPf(X)2>Cj2g=,i00i=1即∑n2Pf(Xi0)>Cg=,22i=100由于∑n2(Xi0)2(n)2i=10因此，取C=2(n),即C＝22(n)得到否定域200∑nW=f(X)2>22(n)g.0i00i=1(2)对于假设问题,有UMP拒绝域∑nW0=fC1

7、0)

8、PfX2W0j2g=.即对i=1;2有∑npppC1C2PfC1