陈家鼎数理统计学讲义第二章答案

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1、第⼆章估计兰州大学数学与统计学院2012级来耀华lyhjj138@sina.com1.设X服从⼏何分布P(X=k)=p(1p)k1;k=1;2;


X1;X2;


;Xn是X的简单随机样本，试找出p的最⼤似然估计.解:∏L(X1;X2;


;Xn)=P(Xi=k)nn(k1)=p(1p)为计算简便，对似然函数做对数运算lnL(p)=nlnp+n(k1)ln(1p)求导数，导数值为0时，达到极值,@lnL(p)nn(k1)==0@ppln(1p)解得p=1.k求⼆阶导数在p=1的值k@2lnL(p)1n(k1)@p2

2、=p2(1p)2<0因此p=1为极⼤值，即为p的最⼤似然估计.k2.设X的分布密度是11jxjf(x)=e(>0)2X1;X2;


;Xn是X的样本，试求的最⼤似然估计.解:∏L(X1;X2;


;Xn)=P(Xi;)∑n()njXij1i=1=e:2对其对数处理，得∑njXijlnL()=nln1i=12求导数为0的值∑njXij@lnL()=ni=1=0@2得到∑njXij=i=1n验证⼆阶导数∑njXij@2lnL()ni=1@2=223∑njXij在=i=1时n@2ln

3、L()n2@2=∑n<0jXiji=1因此为极⼤值，即为的最⼤似然估计.3.设X1;X2;


;Xn是来⾃[;+1]上均匀分布的样本，其中1<<+1.试证明的最⼤似然估计不⽌⼀个.你能求出的全部最⼤似然估计吗?你能求出的⽆偏估计吗?解:8><1x+1f(x;)=>:0其他求得似然函数为2∏nL(X;


;X;)=1nI(X)1n[;+1]ii=1要求其最⼤值，即Xi2[;+1]的最⼤似然估计值^应满⾜^minXi且^+1maxXi因此当2[minXi;maxXi1]时,均为其最⼤

4、似然估计值.由于样本均值是期望的⽆偏估计,现要求的⽆偏估计,可以从均值X⼊⼿:∫∑nEX=+1xdx=+1得到的⽆偏估计为^=X1其中X=X.22ii=16.设X1;X2;


;Xn是来⾃下列两参数指数分布的样本:8<1e2;x21f(x;1;2)=:0;x<1其中12(1;+1),22(0;+1),试求出1和2的最⼤似然估计.解:∑nXin11ni=1L(X;


;X;;)=()e21n122∑nXi1i=1+n1=()ne222∑nlnL(;)=nln1

5、(n)12221i=1@lnL(1;2)n=@12∑n@lnL(1;2)=n+1(Xn)=0@2222i1i=1∑n+=1(X)12nii=1可见,1越⼤,则L越⼤.但要同时满⾜1x,因此最⼤似然估计为∑nXi^=minX;^=i=1minXi=1;2;


;n.1i2ni39.设X1;X2;


;Xn是来⾃下列分布密度的样本:8<(+1)x1;x2[0;1]()(1)f(x;)=:0;其他其中2(0;+1).试⽤矩法估计.解:设其⼀阶矩为V,那么∫1V=EX=xf(x;

6、)dx0∫1(+1)=xdx()(1)0(+1)1=()(1)+1=+1由于样本均值是期望的⽆偏估计，故∑nV=1X=ni+1i=1∑nXi得到=i=1.∑nnXii=111.设X;X;


;X为N(;2)分布的样本，参数;2未知(1<12n<1;2>0)，令1∑n22S0=(XiX)ni=11∑n22S1=(XiX)n1i=14证明对所有可能的和2的值，作为2的估计，S2的均⽅误差⽐S2的01均⽅误差都⼩，即S2⽐S2有效；但S2是⽆偏估计但S2不是；S2是最⼤0110

7、0似然估计.证明:(1)设S2的均⽅误差是M，设S2的均⽅误差是M.0011222M0=E(S0)22222=E(S0ES0+ES0)222=VarS0+(biasS0)[1∑n]222=Var(XiX)+(biasS0)ni=1222M1=E(S1)2=VarS1[1∑n]2=Var(XiX)n1i=1∑n令nY=1(XX)2，故nY2(n1),2ii=1∑n令(n1)Z=1(XX)2，故(n1)Z2(n1)2ii=1那么就有Var(nY)=n2VarY=2(n1)2(n1)VarY

8、=2,nVar[(n1)Z]=(n1)2VarZ=2(n1)VarZ=2,n1故MM=[VarYVarZ]4+(biasS2)2，其中010biasS2=E(S2