导数计算公式

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1、导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y＝f(x)＝c；(2)y＝f(x)＝x；(3)y＝f(x)＝x2；(4)y＝f(x)＝；(5)y＝f(x)＝.问题：上述函数的导数是什么？提示：（1）∵＝＝＝0，∴y′＝＝0.2)(x)′＝1，(3)(x2)′＝2x，(4)′＝－，(5)()′＝.函数(2)(3)(5)均可表示为y＝xα(α∈Q*)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x)′＝1·x1－1，(3)(x2)′＝2·x2－1，(5)()′＝(x)′＝x＝，∴(xα)′＝αxα－1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常

2、数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cosxf(x)＝cos xf′(x)＝－sinxf(x)＝axf′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝一、导数运算法则已知f(x)＝x，g(x)＝.问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？问题2：试求Q(x)＝x＋，H(x)＝x－的导数．提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋－＝Δx＋，∴＝1－，∴Q′(x)＝＝＝1－.同理H′(x)＝1＋.问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g

3、(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)3.′＝(g(x)≠0)题型一利用导数公式直接求导[例1]　求下列函数的导数：(1)y＝10x；(2)y＝lgx；(3)；(4)y＝；(5).[解]　(1)y′＝(10x)′＝10xln10；(2)y′＝(lgx)′＝；(3)y′＝＝－；(4)y′＝()′＝；(5)∵y＝2－1＝sin2＋2sincos

4、＋cos2－1＝sinx，∴y′＝(sinx)′＝cosx.练习求下列函数的导数：(1)y＝x；(2)y＝x；(3)y＝lg5；(4)y＝3lg；(5)y＝2cos2－1.解：(1)y′＝′＝xln＝－＝－e－x；(2)y′＝′＝xln＝＝－10－xln10；(3)∵y＝lg5是常数函数，∴y′＝(lg5)′＝0；(4)∵y＝3lg＝lgx，∴y′＝(lgx)′＝；(5)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.题型二利用导数的运算法则求函数的导数[例2]　求下列函数的导数：(1)y＝x3·ex；(2)y＝x－sincos；

5、(3)y＝x2＋log3x；(4)y＝.[解]　(1)y′＝(x3)′ex＋x3(ex)′＝3x2ex＋x3ex＝x2(3＋x)ex.(2)∵y＝x－sinx，∴y′＝x′－(sinx)′＝1－cosx.(3)y′＝(x2＋log3x)′＝(x2)′＋(log3x)′＝2x＋.(4)y′＝＝＝.练习求下列函数的导数：(1)y＝；(2)y＝xsinx＋；(3)y＝＋；(4)y＝lgx－.解：(1)y′＝′＝＝＝－.(2)y′＝(xsinx)′＋()′＝sinx＋xcosx＋.(3)∵y＝＋＝＝－2，∴y′＝′＝＝.(4)y′＝′＝(lgx)′－′＝＋.

6、题型三导数几何意义的应用[例3]　(1)曲线y＝－5ex＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．[解析]　(1)y′＝－5ex，∴所求曲线的切线斜率k＝y′

7、x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C

8、上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2,1)．(1)5x＋y＋2＝0　(2)(2,1)练习若曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.解析：f′(x)＝－asinx，g′(x)＝2x＋b，∵曲线f(x)＝acosx与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：1[典例]　已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处

9、的切线方程．[解]　由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，且f(1)