二次根式定义与性质

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1、二次根式定义及性质教学内容:1.学习目标:理解二次根式的概念,了解被开方数是非负数的理由;理解并掌握下列结论:,,,并利用它们进行计算和化简.2.重点:;,及其运用.3.难点:利用,,解决具体问题.知识点一:二次根式的概念  一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.知识点二:二次根式的性质  1.;  2.;  3.;  4.积的算术平方根的性质:;  5.商的算术平方根的性质:.知识点三:代数式  形如5,a,a+b,ab,,x3,这些式子,用基本的运算符号(基本运算包

2、括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式(algebraicexpression).经典例题透析类型一:二次根式的概念  例1、下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:      、、、(x>0)、、、、、(x≥0,y≥0).  思路点拨:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0.  解:二次根式有:、(x>0)、、、(x≥0,y≥0);    不是二次根式的有:、、、.  例2、当x是多少时,在实数范围内有意义? 

3、 思路点拨:由二次根式的定义可知,被开方数一定要大于或等于0,所以3x-1≥0,才能有意义.  解:由3x-1≥0,得:x≥    当x≥时,在实数范围内有意义.  总结升华:要使二次根式在实数范围内有意义,必须满足被开方数是非负数.  举一反三  【变式1】x是怎样的实数时,下列各式实数范围内有意义?  (1);(2);  解:(1)由≥0,解得:x取任意实数      ∴当x取任意实数时,二次根式在实数范围内都有意义.    (2)由x-1≥0,且x-1≠0,解得:x>1     ∴当x>1时

4、,二次根式在实数范围内都有意义.  【变式2】当x是多少时,+在实数范围内有意义?  思路点拨:要使+在实数范围内有意义,       必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0.  解:依题意,得    由①得:x≥-    由②得:x≠-1    当x≥-且x≠-1时,+在实数范围内有意义.类型二:二次根式的性质  例1、计算:  (1)       (2)    (3)      (4)  (5)(b≥0)    (6)  思路点拨:我们可以直接利用(a≥0)的结论解题.  解:  (1)

5、     (2)=;      (3);  (4)=; (5);  (6).  举一反三  【变式1】计算:  (1);   (2);  (3);    (4).  思路点拨:(1)因为x≥0,所以x+1>0;   (2)a2≥0;       (3)a2+2a+1=(a+1)2≥0;     (4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0.       所以上面的4题都可以运用的重要结论解题.  解:(1)因为x≥0,所以x+1>0      ;    (2)∵a2

6、≥0,∴;    (3)∵a2+2a+1=(a+1)2     又∵(a+1)2≥0,∴a2+2a+1≥0,∴=a2+2a+1;    (4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2     又∵(2x-3)2≥0     ∴4x2-12x+9≥0,∴=4x2-12x+9.  例2、化简:  (1);(2);(3);(4).  思路点拨:因为(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可运用去化简.  解:(1)==3; (2

7、)==4;    (3)==5; (4)==3.  例3、填空:当a≥0时,=____;当a<0时,=______,并根据这一性质回答下列问题.  (1)若=a,则a可以是什么数?  (2)若=-a,则a可以是什么数?  (3)>a,则a可以是什么数?  思路点拨:  ∵=a(a≥0),  ∴要填第一个空格可以根据这个结论,第二空格就不行,应变形,使“()2”中的数是正数,  因为,当a≤0时,=,那么-a≥0.  (1)根据结论求条件;(2)根据第二个填空的分析,逆向思想;(3)根据(1)、(2

8、)可知,而要大于a,只有什么时候才能保证呢?  解:(1)因为,所以a≥0;    (2)因为,所以a≤0;    (3)因为当a≥0时,要使,即使a>a所以a不存在;当a<0时,,     要使,即使-a>a,即a<0;综上,a<0.类型三:二次根式性质的应用  例1、当x=-4时,求二次根式的值.  思路点拨:二次根式也是一种代数式,求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.  解:将x=-4代入二次根式,得=.  例2、(1)已知y=++5,求的值.      (2)若+=0

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