二次根式定义与性质

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1、二次根式定义及性质教学内容：1.学习目标：理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点：；，及其运用．3.难点：利用，，解决具体问题.知识点一：二次根式的概念　　一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．知识点二：二次根式的性质　　1.；　　2.；　　3.；　　4.积的算术平方根的性质：；　　5.商的算术平方根的性质：.知识点三：代数式　　形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包

2、括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式(algebraicexpression).经典例题透析类型一：二次根式的概念　　例1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：　　　　　　、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．　　思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．　　解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)；　　　　不是二次根式的有：、、、．　　例2、当x是多少时，在实数范围内有意义？　

3、　思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．　　解：由3x-1≥0，得：x≥　　　　当x≥时，在实数范围内有意义．　　总结升华：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．　　举一反三　　【变式1】x是怎样的实数时，下列各式实数范围内有意义？　　(1)；(2)；　　解：(1)由≥0，解得：x取任意实数　　　　　　∴当x取任意实数时，二次根式在实数范围内都有意义.　　　　(2)由x-1≥0，且x-1≠0，解得：x＞1　　　　　∴当x＞1时

4、，二次根式在实数范围内都有意义.　　【变式2】当x是多少时，+在实数范围内有意义？　　思路点拨：要使+在实数范围内有意义，　　　　　　　必须同时满足中的2x+3≥0和中的x+1≠0．　　解：依题意，得　　　　由①得：x≥-　　　　由②得：x≠-1　　　　当x≥-且x≠-1时，+在实数范围内有意义．类型二：二次根式的性质　　例1、计算：　　(1)　　　　　　　(2)　　　　(3)　　　　　　(4)　　(5)(b≥0)　　　　(6)　　思路点拨：我们可以直接利用(a≥0)的结论解题．　　解：　　(1)

5、　　　　　(2)=；　　　　　　(3)；　　(4)=；　(5)；　　(6)．　　举一反三　　【变式1】计算：　　(1)；　　　(2)；　　(3)；　　　　(4).　　思路点拨：(1)因为x≥0，所以x+1＞0；　　　(2)a2≥0；　　　　　　　(3)a2+2a+1=(a+1)2≥0；　　　　　(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2≥0．　　　　　　　所以上面的4题都可以运用的重要结论解题．　　解：(1)因为x≥0，所以x+1＞0　　　　　　；　　　　(2)∵a2

6、≥0，∴；　　　　(3)∵a2+2a+1=(a+1)2　　　　　又∵(a+1)2≥0，∴a2+2a+1≥0，∴=a2+2a+1；　　　　(4)∵4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2　　　　　又∵(2x-3)2≥0　　　　　∴4x2-12x+9≥0，∴=4x2-12x+9.　　例2、化简:　　(1)；(2)；(3)；(4).　　思路点拨：因为(1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可运用去化简．　　解：(1)==3；　(2

7、)==4；　　　　(3)==5；　(4)==3.　　例3、填空：当a≥0时，=____；当a＜0时，=______，并根据这一性质回答下列问题．　　(1)若=a，则a可以是什么数？　　(2)若=-a，则a可以是什么数？　　(3)＞a，则a可以是什么数？　　思路点拨：　　∵=a(a≥0)，　　∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“()2”中的数是正数，　　因为，当a≤0时，=，那么-a≥0．　　(1)根据结论求条件；(2)根据第二个填空的分析，逆向思想；(3)根据(1)、(2

8、)可知，而要大于a，只有什么时候才能保证呢？　　解：(1)因为，所以a≥0；　　　　(2)因为，所以a≤0；　　　　(3)因为当a≥0时，要使，即使a＞a所以a不存在；当a＜0时，，　　　　　要使，即使-a＞a，即a＜0；综上，a＜0.类型三：二次根式性质的应用　　例1、当x=-4时，求二次根式的值.　　思路点拨：二次根式也是一种代数式，求二次根式的值和求其他代数式的值方法相同.　　解：将x=-4代入二次根式，得=.　　例2、(1)已知y=++5，求的值．　　　　　　(2)若+=0