数列通项公式常用求法及构造法

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1、数列通项公式的常用求法构造法求数列通项公式一、构造等差数列求数列通项公式运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为=A（其中A为常数）形式，根据等差数列的定义知是等差数列，根据等差数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。例1在数列中，=，（），求数列通项公式.解析：由得，an+1an=3an+1-3an=0，两边同除以an+1an得，，设bn=，则bn+1-bn=，根据等差数列的定义知，数列｛bn｝是首项b1=2，公差d=的等差数列，根据等差数列的通项公式得bn=2＋（n-1）=n＋∴数列通项公式为an=例2在数列

2、｛an｝中，Sn是其前n项和，且Sn≠0，a1=1，an=(n≥2)，求Sn与an。解析：当n≥2时，an=Sn-Sn-1代入an=得，Sn-Sn-1=，变形整理得Sn-Sn-1=SnSn-1？两边除以SnSn-1得，-=2，∴｛｝是首相为1，公差为2的等差数列∴=1+2（n-1）=2n-1,∴Sn=(n≥2),n=1也适合，∴Sn=(n≥1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-=-，n=1不满足此式，∴an={二、构造等比数列求数列通项公式9运用乘、除、去分母、添项、去项、取对数、待定系数等方法，将递推公式变形成为f（n+1）=Af（n）（其中A为非零常数）形式，根据

3、等比数列的定义知是等比数列，根据等比数列的通项公式，先求出的通项公式，再根据与，从而求出的通项公式。例3在数列｛an｝中，a1=2，an=an-12(n≥2)，求数列｛an｝通项公式。解析：∵a1=2，an=an-12(n≥2)＞0，两边同时取对数得，lgan=2lgan-1∴=2，根据等比数列的定义知，数列｛lgan｝是首相为lg2，公比为2的等比数列，根据等比数列的通项公式得lgan=2n-1lg2=∴数列通项公式为an=评析：本例通过两边取对数，变形成形式，构造等比数列，先求出的通项公式，从而求出的通项公式。例4在数列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+

4、1，求数列｛an｝通项公式。解析：设an+1+A（n+1）+B=4（an+An+B），（A、B为待定系数），展开得an+1=4an+3An+3B-A，与已知比较系数得{∴{∴an+1+（n+1）+=4（an+n+），根据等比数列的定义知，数列｛an+n+｝是首项为，公比为q=3的等比数列，∴an+n+=×3n-1∴数列通项公式为an=×3n-1-n-例5在数列｛an｝中，a1=1，an+1an=4n，求数列｛an｝通项公式。解析：∵an+1an=4n∴anan-1=4n-1两式相除得=4，∴a1，a3，a5……与a2，a4，a6……是首相分别为a1，a2，公比都是4的等

5、比数列，又∵a1=1，an+1an=4n，∴a2=4∴an={三、等差等比混合构造法数列有形如的关系，可在等式两边同乘以先求出9例6．设数列满足求解：原条件变形为两边同乘以得.∵∴四、辅助数列法有些数列本身并不是等差或等比数列，但可以经过适当的变形，构造出一个新的数列为等差或等比数列，从而利用这个数列求其通项公式。例7.在数列中，，，，求。解析：在两边减去，得∴是以为首项，以为公比的等比数列，∴，由累加法得==…===练习1、在数列｛an｝中，a1=1，an+1=3an+2n（n∈N*），求数列｛an｝通项公式。解：由an+1=3an+2n（n∈N*）得，an+1+2n

6、+1=3（an+2n）（n∈N*），设bn=an+2n则bn+1=3bn，∴=3，根据等比数列的定义知，数列｛bn｝是首相b1=3，公比为q=3的等比数列，根据等比数列的通项公式得bn=3n，即an+2n=3n，9∴数列通项公式为an=3n-2n注意：2n+1-2n=2n2、在数列中，，，求数列的通项公式。解：、由得，，根据等差数列的定义知，数列是首项为3，公差为3的等差数列，所以，所以3、已知数列满足，，求解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，4.数列{a}满足a=1，a=a+1（n≥2），求数列{a}的通项公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a

7、－2），而a－2=1－2=－1，∴数列{a－2}是以为公比，－1为首项的等比数列∴a－2=－（）∴a=2－（）5.数列中，，求数列的通项公式。解：由得设比较系数得，解得或若取，则有∴是以为公比，以为首项的等比数列∴9由逐差法可得===6.设各项均为正数的数列的前n项和为，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.解：，∴，∵，∴.即是以2为公差的等差数列，且.∴7.设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式an.解：由题设得.∵，，∴.∴8.数列中，，前n项的和，求.解：，∴∴9.设正项数列满足，（n≥2）.求数列的