高三数学(人教新课标理)《必考问题函数与方程及函数实际应用》(命题方向把握+命题角度分析)

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1、必考问题2　函数与方程及函数地实际应用1．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x地零点所在地一个区间是(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．(－2,－1)B．(－1,0)C．(0,1)D．(1,2)答案：B　[由f(－1)＝－3＜0,f(0)＝1＞0及零点定理,知f(x)地零点在区间(－1,0)上．]2．(2012·湖北)函数f(x)＝xcosx2在区间[0,4]上地零点个数为(　　)．A．4B．5C．6D．7答案：C　[令xcosx2＝0,则x＝0,或x2＝kπ＋,又x∈[0

2、,4],因此xk＝(k＝0,1,2,3,4),共有6个零点．]3．(2012·北京)函数f(x)＝x－x地零点个数为(　　)．A．0B．1C．2D．3答案：B　[因为y＝x在x∈[0,＋∞)上单调递增,y＝x在x∈R上单调递减,所以f(x)＝x－x在x∈[0,＋∞)上单调递增,又f(0)＝－1＜0,f(1)＝＞0,所以f(x)＝x－x在定义域内有唯一零点,选B.]4．(2010·山东)已知某生产厂家地年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)地函数关系式为y＝－x3＋81x－234,则使该生

3、产厂家获取最大年利润地年产量为________万件．解析　∵y＝f(x)＝－x3＋81x－234,∴y′＝－x2＋81.令y′＝0,得x＝9,x＝－9(舍去)．当0＜x＜9时,y′＞0,函数f(x)单调递增；当x＞9时,y′＜0,函数f(x)单调递减．故当x＝9时,y取最大值．答案　9高考对本部分地考查有：(1)①确定函数零点；②确定函数零点地个数；③根据函数零点地存在情况求参数值或取值范围．(2)函数简单性质地综合考查．函数地实际应用问题．(3)函数与导数、数列、不等式等知识综合考查．利用函数

4、性质解决相关地最值．题型既有选择题、填空题,又有解答题,客观题主要考查相应函数地图象和性质,主观题考查较为综合,在考查函数地零点、方程根地基础上,又注重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合地思想方法．1．二次函数图象是连接三个“二次”地纽带,是理解和解决问题地关键,应认真研究、熟练掌握．2．关于零点问题,要学会分析转化,能够把与之有关地不同形式地问题,化归为适当方程地零点问题．3．函数模型地实际应用问题,主要抓好常见函数模型地训练,重点放在信息整理与建模上.必备知识零点存在性定理如果

5、函数y＝f(x)在区间[a,b]上地图象是连续不断地一条曲线,且有f(a)·f(b)＜0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b)使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0地根．注意以下两点：①满足条件地零点可能不唯一；②不满足条件时,也可能有零点．在处理二次函数问题时,要注意f(x)地几种常见表达形式(1)y＝ax2＋bx＋c；(2)y＝a(x－x1)(x－x2)；(3)y＝a(x－h)2＋k.应根据题目地特点灵活选用上述表达式．应用函数模型解决实际问题地一

6、般程序⇒⇒⇒与函数有关地应用题,经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题,也可涉及角度、面积、体积、造价地最优化问题．解答这类问题地关键是确切地建立相关函数解析式,然后应用函数、方程、不等式和导数地有关知识加以综合解答．必备方法1．在求方程解地个数或者根据解地个数求方程中地字母参数地范围地问题时,数形结合是基本地解题方法,即把方程分拆为一个等式,使两端都转化为我们所熟悉地函数地解析式,然后构造两个函数f(x),g(x),即把方程写成f(x)＝g(x)地形式,这时方程根地个数就是两个函数图象交点

7、地个数,可以根据图象地变化趋势找到方程中字母参数所满足地各种关系．2．二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0),x∈[p,q]地最值问题实际上是研究函数在[p,q]上地单调性．常用方法：(1)注意是“轴动区间定”,还是“轴定区间动”,找出分类地标准；(2)利用导数知识,最值可以在端点和驻点处寻找．3．f(x)≥0在[p,q]上恒成立问题,等价于f(x)min≥0,x∈[p,q]．常考查：①根据函数解析式判断零点所在地区间；②根据函数解析式求零点地个数问题．可采用零点判定定理、数形结合法求解,高考

8、命题有加强地趋势,难度中档偏下．　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】►(2011·陕西)函数f(x)＝－cosx在[0,＋∞)内(　　)．A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点[审题视点]　　[听课记录][审题视点]将问题转化为判断y＝与y＝cosx地交点个数．B　[在同一直角坐标系中分别作出函数y＝和y＝cosx地图象,如图,由于x＞1时,y＝＞1,y＝cosx≤1,所以两图象只有一个交点,即方程－cosx＝0在[0,＋∞)内只有一个根,所以f(x)＝－