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时间:2018-10-29
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1、导数概念与计算1.若函数,满足,则()A.B.C.2D.02.已知点在曲线上,曲线在点处的切线平行于直线,则点的坐标为()A.B.C.D.3.已知,若,则()A.B.eC.D.4.曲线在点处的切线斜率为()A.1B.2C.D.5.设,,,…,,,则等于()A.B.C.D.6.已知函数的导函数为,且满足,则()A.B.C.1D.7.曲线在与轴交点的切线方程为________________.8.过原点作曲线的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为____________.9.求下列函数的导数,并尽量把导数变形为因式的积或商的形式:(1)(2)(3)(4)(5)(6)10.已知
2、函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)求证:当时,.11.设函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.12.设函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.导数作业1答案——导数概念与计算1.若函数,满足,则()A.B.C.2D.0选B.2.已知点在曲线上,曲线在点处的切线平行于直线,则点的坐标为()A.B.C.D.解:由题意知,函数f(x)=x4-x在点P处的切线的斜率等于3,即f′(x0)=4x-1=3,∴x0=1,将其代入f(x)中可得P(1,0).选D.3.已知,若,则(
3、)A.B.eC.D.解:f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,由f′(x0)=2,即lnx0+1=2,解得x0=e.选B.4.曲线在点处的切线斜率为()A.1B.2C.D.解:∵y′=ex,故所求切线斜率k=ex
4、x=0=e0=1.选A.5.设,,,…,,,则等于()A.B.C.D.解:∵f0(x)=sinx,f1(x)=cosx,f2(x)=-sinx,f3(x)=-cosx,f4(x)=sinx,…∴fn(x)=fn+4(x),故f2012(x)=f0(x)=sinx,∴f2013(x)=f′2012(x)=cosx.选C.6.已知函数的导函数为,且满足,则()A
5、.B.C.1D.解:由f(x)=2xf′(1)+lnx,得f′(x)=2f′(1)+,∴f′(1)=2f′(1)+1,则f′(1)=-1.选B.7.曲线在与轴交点的切线方程为________________.解:由y=lnx得,y′=,∴y′
6、x=1=1,∴曲线y=lnx在与x轴交点(1,0)处的切线方程为y=x-1,即x-y-1=0.8.过原点作曲线的切线,则切点的坐标为________,切线的斜率为____________.解:y′=ex,设切点的坐标为(x0,y0)则=ex0,即=ex0,∴x0=1.因此切点的坐标为(1,e),切线的斜率为e.9.求下列函数的导数,并尽量把导数变
7、形为因式的积或商的形式:(1)(2)(3)(4)∵y=xcosx-sinx,∴y′=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.(5)∵y=xe1-cosx,∴y′=e1-cosx+xe1-cosx(sinx)=(1+xsinx)e1-cosx.(6)y==1+∴y′=-2=.10.已知函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)求证:当时,.解:(1)函数f(x)的定义域为(-1,+∞).f′(x)=-1=f′(x)与f(x)随x变化情况如下:x(-1,0)0(0,+∞)f′(x)+0-f(x)0因此f(x)的递增区间为(-1,0),递减区间为(0,+∞).(2)证明 由(1)知f(x)≤
8、f(0).即ln(x+1)≤x设h(x)=ln(x+1)+-1h′(x)=-=可判断出h(x)在(-1,0)上递减,在(0,+∞)上递增.因此h(x)≥h(0)即ln(x+1)≥1-.所以当x>-1时1-≤ln(x+1)≤x.11.设函数,曲线在点处的切线方程为.(Ⅰ)求的解析式;(Ⅱ)证明:曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值,并求此定值.(1)解 方程7x-4y-12=0可化为y=x-3,当x=2时,y=.又f′(x)=a+,于是解得故f(x)=x-.(2)证明 设P(x0,y0)为曲线上任一点,由f′(x)=1+知,曲线在点P(x0,y0)处的切线方程为y-y
9、0=(x-x0),即y-=(x-x0).令x=0得,y=-,从而得切线与直线x=0交点坐标为.令y=x,得y=x=2x0,从而得切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).所以点P(x0,y0)处的切线与直线x=0,y=x所围成的三角形面积为
10、2x0
11、=6.故曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值,此定值为6.12.设函数.(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)若当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.解 (1)
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