直线及椭圆练习

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时间:2018-10-26

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1、课时作业(四十五)一、选择题1.给定四条曲线:①x2+y2=;②+=1;③x2+=1;④+y2=1.其中与直线x+y-=0仅有一个交点的曲线是(  )A.①②③      B.②③④C.①②④D.①③④答案 D2.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(  )A.相交B.相切C.相离D.不确定答案 A解析 ∵直线方程可化为y-1=k(x-1).恒过(1,1)定点,而(1,1)在椭圆内部,选A.3.如图,椭圆中心在坐标原点,离心率为,F为椭圆左焦点,直线AB与FC交于D点,则∠BDC的正切值是(  )A.-3B.3-C.3D.3+答

2、案 A解析 ∵e=∴a=2c∵a2=b2+c2 ∴b=c=a∴tan∠ABO==tan∠DFB=tan∠CFO==∴tan∠BDC=-tan(∠ABO+∠DFB)=-=-3,选A.4.椭圆的焦点为F1,F2,过F1的最短弦PQ的长为10,△PF2Q的周长为36,则此椭圆的离心率为(  )A.B.C.D.答案 C解析 PQ为过F1垂直于x轴的弦,则Q(-c,),△PF2Q的周长为36,∴4a=36,a=9,由已知=5,即=5,又a=9,解得c=6,解得=,即e=.5.设直线l:2x+y+2=0关于原点对称的直线为l′.若l′与椭圆x2+=

3、1的交点为A、B,点P为椭圆上的动点,则使△PAB的面积为的点P的个数为(  )A.1B.2C.3D.4答案 B解析 由已知求得l′:2x+y-2=0与椭圆两交点分别为长、短轴端点,其中A(0,2),B(1,0),∴

4、AB

5、=.∴顶点P到底边AB的距离h==.设与直线l′平行且距离为的直线l″:2x+y+c=0(c≠-2).由两平行直线间距离公式,得d===.∴c=-1或c=-3.两平行线为2x+y-1=0,2x+y-3=0.联立①②对于方程组①,Δ1>0,直线与椭圆有两个交点.对于方程组②,Δ2<0,直线与椭圆无交点.综合知,满足题意

6、的点P有2个,如图所示.6.(2011·江南十校)若AB是过椭圆+=1(a>b>0)中心的一条弦,M是椭圆上任意一点,且AM、BM与坐标轴不平行,kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率,则kAM·kBM=(  )A.-B.-C.-D.-答案 B解析 解法一(直接法):设A(x1,y1),M(x0,y0),则B(-x1,-y1),则kAM·kBM=·===-.解法二(特值法):因为四个选项为确定值,取A(a,0),B(-a,0),M(0,b),可得kAM·kBM=-.二、填空题7.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F作弦AB,若

7、AF

8、

9、=d1,

10、FB

11、=d2,那么+的值为________.答案 解析 法一(特殊值法):令弦AB与x轴垂直d1=d2=,∴+=.法二:设AB的方程为y=k(x-c)∴b2x2+a2k2(x-c)2-a2b2=0∴(a2k2+b2)x2-2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0∴x1+x2=,x1·x2=∴+===.8.若直线y=kx+1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆+=1恒有公共点,则t的范围为__________.答案 [1,5)9.以椭圆+=1内的点M(1,1)为中点的弦所在的直线方程是________.答案 x+4y-5=0解析 ∵

12、由点差法知,从M(1,1)为中点弦的斜率k=-·=-.∴弦的直线方程为y-1=-(x-1).10.已知椭圆+=1(a>b>0),以O为圆心,短半轴长为半径作圆O,过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线,切点为A、B,若四边形PAOB为正方形,则椭圆的离心率为________.答案 解析 如题图,因为四边形PAOB为正方形,且PA、PB为圆O的切线,所以△OAP是等腰直角三角形,故a=b,所以e==.11.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M、N两点,原点O与线段MN的中点P连线的斜率为,则的值是________.答案 解析 由消

13、去y,得(m+n)x2-2nx+n-1=0,则MN的中点P的坐标为(,),∴kOP==.三、解答题12.已知椭圆+y2=1及点B(0,-2),过左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点,F2为其右焦点,求△CDF2的面积.解析 ∵F1=(-1,0)∴直线CD方程为y=-2x-2,由得9x2+16x+6=0,而Δ>0,设C(x1,y1),D(x2,y2),则

14、CD

15、=,∴

16、CD

17、==.F2到直线DC的距离d=,故S△CDF2=

18、CD

19、·d=.13.(2011·盐城)在平面直角坐标系xOy中,经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有

20、两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围;(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B,是否存在常数k,使得向量+与共线?如果存在,求k值;如果不存在,请说明理由.解析 (1)由已知条件,直线l

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