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1、课时作业(四十五)一、选择题1．给定四条曲线：①x2＋y2＝；②＋＝1；③x2＋＝1；④＋y2＝1.其中与直线x＋y－＝0仅有一个交点的曲线是( )A．①②③ B．②③④C．①②④D．①③④答案 D2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )A．相交B．相切C．相离D．不确定答案 A解析 ∵直线方程可化为y－1＝k(x－1)．恒过(1,1)定点，而(1,1)在椭圆内部，选A.3．如图，椭圆中心在坐标原点，离心率为，F为椭圆左焦点，直线AB与FC交于D点，则∠BDC的正切值是( )A．－3B．3－C．3D．3＋答
2、案 A解析 ∵e＝∴a＝2c∵a2＝b2＋c2 ∴b＝c＝a∴tan∠ABO＝＝tan∠DFB＝tan∠CFO＝＝∴tan∠BDC＝－tan(∠ABO＋∠DFB)＝－＝－3，选A.4．椭圆的焦点为F1，F2，过F1的最短弦PQ的长为10，△PF2Q的周长为36，则此椭圆的离心率为( )A.B.C.D.答案 C解析 PQ为过F1垂直于x轴的弦，则Q(－c，)，△PF2Q的周长为36，∴4a＝36，a＝9，由已知＝5，即＝5，又a＝9，解得c＝6，解得＝，即e＝.5．设直线l：2x＋y＋2＝0关于原点对称的直线为l′.若l′与椭圆x2＋＝
3、1的交点为A、B，点P为椭圆上的动点，则使△PAB的面积为的点P的个数为( )A．1B．2C．3D．4答案 B解析 由已知求得l′：2x＋y－2＝0与椭圆两交点分别为长、短轴端点，其中A(0,2)，B(1,0)，∴
4、AB
5、＝.∴顶点P到底边AB的距离h＝＝.设与直线l′平行且距离为的直线l″：2x＋y＋c＝0(c≠－2)．由两平行直线间距离公式，得d＝＝＝.∴c＝－1或c＝－3.两平行线为2x＋y－1＝0,2x＋y－3＝0.联立①②对于方程组①，Δ1>0，直线与椭圆有两个交点．对于方程组②，Δ2<0，直线与椭圆无交点．综合知，满足题意
6、的点P有2个，如图所示．6．(2011·江南十校)若AB是过椭圆＋＝1(a>b>0)中心的一条弦，M是椭圆上任意一点，且AM、BM与坐标轴不平行，kAM、kBM分别表示直线AM、BM的斜率，则kAM·kBM＝( )A．－B．－C．－D．－答案 B解析 解法一(直接法)：设A(x1，y1)，M(x0，y0)，则B(－x1，－y1)，则kAM·kBM＝·＝＝＝－.解法二(特值法)：因为四个选项为确定值，取A(a,0)，B(－a,0)，M(0，b)，可得kAM·kBM＝－.二、填空题7．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F作弦AB，若
7、AF
8、
9、＝d1，
10、FB
11、＝d2，那么＋的值为________．答案 解析 法一(特殊值法)：令弦AB与x轴垂直d1＝d2＝，∴＋＝.法二：设AB的方程为y＝k(x－c)∴b2x2＋a2k2(x－c)2－a2b2＝0∴(a2k2＋b2)x2－2a2k2cx＋a2k2c2－a2b2＝0∴x1＋x2＝，x1·x2＝∴＋＝＝＝.8．若直线y＝kx＋1(k∈R)与焦点在x轴上的椭圆＋＝1恒有公共点，则t的范围为__________．答案 [1,5)9．以椭圆＋＝1内的点M(1,1)为中点的弦所在的直线方程是________．答案 x＋4y－5＝0解析 ∵
12、由点差法知，从M(1,1)为中点弦的斜率k＝－·＝－.∴弦的直线方程为y－1＝－(x－1)．10.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，以O为圆心，短半轴长为半径作圆O，过椭圆的长轴的一端点P作圆O的两条切线，切点为A、B，若四边形PAOB为正方形，则椭圆的离心率为________．答案 解析 如题图，因为四边形PAOB为正方形，且PA、PB为圆O的切线，所以△OAP是等腰直角三角形，故a＝b，所以e＝＝.11．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M、N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为，则的值是________．答案 解析 由消
13、去y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，则MN的中点P的坐标为(，)，∴kOP＝＝.三、解答题12．已知椭圆＋y2＝1及点B(0，－2)，过左焦点F1与B的直线交椭圆于C、D两点，F2为其右焦点，求△CDF2的面积．解析 ∵F1＝(－1,0)∴直线CD方程为y＝－2x－2，由得9x2＋16x＋6＝0，而Δ>0，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
14、CD
15、＝，∴
16、CD
17、＝＝.F2到直线DC的距离d＝，故S△CDF2＝
18、CD
19、·d＝.13．(2011·盐城)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有
20、两个不同的交点P和Q.(1)求k的取值范围；(2)设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数k，使得向量＋与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．解析 (1)由已知条件，直线l
