复数、积分的相关概念及运算

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1、复数、积分的相关概念及运算2016年3月24日11目录22常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6目录33常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6一、复数的概念44一、常微分方程的概念——阶数55微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的最高次数，称为微分方程的阶数。一阶二阶一阶一、常微分方程的概念——方程的解66引例2—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解引例

2、1通解:特解:微分方程的解—不含任意常数的解.一、常微分方程的概念——初值问题77初始条件:用来确定任意常数的条件.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.常微分方程初始条件问题一阶:过定点的积分曲线;二阶:一、常微分方程的概念88解微分方程初始条件通解特解目录99常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6二、一阶常微分方程——可分离变量的方程1010形如的微分方程，称为可分离变量方程。二、一阶常微分方程——可分离变量的方程1111二、一阶常微分方程——齐次方程1212，形如的方程

3、，称为齐次方程。二、一阶常微分方程——一阶线性齐次方程1313二、一阶常微分方程——一阶线性齐次方程1414二、一阶常微分方程——一阶线性齐次方程1515二、一阶常微分方程——伯努利方程1616目录1717常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6三、二阶常微分方程——可降阶的二阶常微分方程1818三、二阶线性微分方程1919三、二阶常微分方程的定理2020三、二阶常微分方程的定理2121三、二阶常系数线性微分方程2222三、二阶常系数线性微分方程2323三、二阶常系数线性微分方程24

4、24三、二阶常系数线性微分方程2525三、二阶常系数线性微分方程2626三、二阶常系数线性微分方程2727三、二阶常系数线性微分方程2828三、二阶常系数线性微分方程2929三、二阶常系数非齐次线性微分方程3030三、二阶常系数非齐次线性微分方程3131三、二阶常系数非齐次线性微分方程3232三、二阶常系数非齐次线性微分方程3333三、二阶常系数非齐次线性微分方程3434三、二阶常系数非齐次线性微分方程3535目录3636常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6四、欧拉方程的证明37

5、37四、欧拉方程的证明3838ex=1+x/1!+x2/2!+x3/3!+x4/4!+……在ex的展开式中把x换成±ix因为(±i)2=-1,(±i)3=∓i,(±i)4=1……e+ix=1+ix/1!-x2/2!-x3/3!+x4/4!……=(1-x2/2!+……)+i(x-x3/3!……)cosx=1-x2/2!+x4/4!-x6/6!……sinx=x-x3/3!+x5/5!-x7/7!……eix=cosx+isinx目录3939常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6五、常用的

6、三角函数4040sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinBtan(A+B)=tan(A-B)=三角和公式sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb=2coscoscosa-cosb=-2sinsin和差化积公式tana+tanb=五、常用的三角函数4141a•sina+b•cosa=×sin(a+c)(其中tanc=)a•sina-b•cosa=×cos

7、(a-c)(其中tanc=)1+sina=目录4242常微分方程的概念1一次常微分方程的解法2二阶常微分方程的解法3欧拉公式的证明4常用的三角函数5单自由度系统公式的求解6单自由度无阻尼系统4343取静平衡位置为坐标原点，向上为正。此时弹簧的变形为zls，而作用于质量上的力有重力mg，方向朝下。在撤消外力的瞬时，应用牛顿第二定律，可得系统的运动方程弹簧的弹性力是k(zls)，弹性力的特点是：始终使质量恢复到平衡状态，故此时其方向也是向下：即k未受外力作用，处于自由状态的弹簧lsmg受重力mg作用，弹簧被压缩zT单自由度无阻尼系统4444由于kls=mg，故

8、式(12-1)可简化为：由上式可知，质