优化设计数学模型

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1、第一章优化设计的数学模型7/6/20211第一章优化设计的数学模型对任何一位设计者来说，总愿意作出最优设计方案，使所设计的产品或工程设施有最好的使用性能和最低的材料消耗与制造成本，以便获得最佳的经济效益和社会效益。为此，自古以来，慎重的工程设计人员常常提供几种候选设计方案，再从中择其“最优”者。7/6/20212常规设计与优化设计的区别常规设计的特点由于设计时间和经费的限制，使所设计的候选方案的数目受到很大限制。因此用常规的设计方法进行工程设计，特别是当影响设计的因素很多时，只能得到有限候选方案中的最好方案、不可能得到一切可能方案的“最优设计方案”。7/6/

2、20213常规设计与优化设计的区别优化设计的特点“最优化设计”是在现代计算机广泛应用的基础上发展起来的一项新技术。是根据最优化原理和方法综合各方面的因素，以人机配合方式或“自动探索”方式，在计算机上进行的半自动或自动设计,可以选出在现有工程条件下的最佳设计方案的一种现代设计方法。其设计原则是最优设计；设计手段是电子计算机及计算程序；设计方法是采用最优化数学方法。实践证明，最优化设计是保证产品具有优良的性能，减轻自重或体积，降低工程造价的一种有效设计方法。同时也可使设计者从大量繁琐和重复的计算工作中解脱出来，使之有更多的精力从事创造性的设计，并大大提高设计效率

3、。7/6/20214优化设计的发展50年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分法和变分法。50年代末数学规划方法被首次用于结构最优化，并成为优化设计中求优方法的理论基础。数学规划方法是在第二次世界大战期间发展起来的一个新的数学分支，线性规划与非线性规划是其主要内容。此外，还有动态规划、几何规划和随机规划等。在数学规划方法的基础上发展起来的最优化设计，是60年代初电子计算机引入结构设计领域后逐步形成的一种有效的设计方法。利用这种方法，不仅使设计周期大大缩短，计算精度显著提高，而且可以解决传统设计方法所不能解决的比较复杂的最优化设计问题。大型电子计

4、算机的出现，使最优化方法及其理论蓬勃发展，成为应用数学中的一个重要分支，并在许多科学技术领域中得到应用。7/6/20215优化设计的应用领域近十几年来，最优化设计方法已陆续用到建筑结构、化工、冶金、铁路、航天航空、造船、机床、汽车、自动控制系统、电力系统以及电机、电器等工程设计领域，并取得了显著效果。其中在机械设计方面的应用虽尚处于早期阶段，但也已经取得了丰硕的成果。7/6/20216最优化设计工作包括以下两部分内容：(1)将设计问题的物理模型转变为数学模型。建立数学模型时要选取设计变量，列出目标函数，给出约束条件。目标函数是设计问题所要求的最优指标与设计变

5、量之间的函数关系式。(2)采用适当的最优化方法，求解数学模型。可归结为在给定的条件(例如约束条件)下求目标函数的极值或最优值问题。7/6/20217机械最优化设计就是在给定的载荷或环境条件下，在对机械产品的性态、几何尺寸关系或其它因素的限制(约束)范围内，选取设计变量，建立目标函数并使其获得最优值的一种新的设计方法。设计变量、目标函数和约束条件这三者在设计空间(以设计变量为坐标轴组成的实空间)的几何表示中构成设计问题。7/6/202181-1优化设计实例例1-1一块边长为6m的正方形铝板，四角各裁去一个小的方块，做成一个无盖的盒子。试确定裁去的四个小方块的边

6、长，以使做成的盒子具有最大的容积。设裁去的四个小方块的边长为;则盒子的容积可表示成的函数：上述问题可描述为：求变量使函数极大化7/6/202191-1优化设计实例例1-2某工厂生产甲乙两种产品，生产每种产品所需的材料、工时、电力和可获得的利润，以及能够提供的材料、工时和电力见表1-1，试确定两种产品每天的产量，以使每天可能获得的利润最大。产品材料/kg工时/h电力/（kW*h）利润/元甲93460乙4105120供应量360300200表1-1生产条件与供给数据7/6/202110设每天生产甲产品件，乙产品件每天可获得的利润可用函数表示每天消耗的材料可用函数

7、表示，每天消耗的工时可用函数表示，每天消耗的电力可用函数表示，1-1优化设计实例7/6/2021111-1优化设计实例上述生产计划问题可归结为：求变量使函数满足条件这就是该问题的数学模型。最大化7/6/202112其中：代表设计目标，称为目标函数代表5个已知的生产指标，称为约束函数5个不等式代表5个生产条件，称为约束条件1-1优化设计实例由于目标函数和所有的约束函数均是设计变量的线性函数，故此问题属线性约束优化问题，显然这样的问题无法直接使用极值条件求解。7/6/2021131-1优化设计实例例1-3一种承受扭转的空心传动轴，已知传递的扭矩为T，试确定此传动

8、轴的内、外径，以使其用料最少。空心传动轴的截面积：扭