03有关优化设计数学模型

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1、有关优化设计数学模型及其求解中的几个问题建立正确的数学模型，是解决最优化设计问题的关键。总的说来对数学模型的基本要求为：1)数学模型能正确地表达设计问题，准确可靠地保证设计问题所要达到的目的和满足所受的各种限制条件。2)建立的数学模型要容易处理，总的推备时间较少，计算过程稳定，计算结果可靠。设计变量的选取设计变量是在设计过程中需要进行选择并最终必须确定的各项独立参数。虽然凡能影响设计质量或结果的可变参数均可作为设计变量，但设计变量太多，会增加计算的难度和工作量，且会由于问题过份复杂而失去实际意义。设计变量太少，则减小了设计自由度，难以甚至无法得到较佳的优化结果。

2、总的原则应该在确保优化效果的前提下，尽可能地减少设计变量。在机械优化设计中，对某一种参数是否作为设计变量，必须考察这种参数是否能够控制，实行起来是否便利，制造加工成本如何，以及允许调整范围等实际问题。要把有关参数中对优化目标影响最大的那些独立参数作为设计变量，此外应力求选取容易控制调整的参数(如连杆机构中的杆件长度)作为设计变量。对有关材料的机械性能，由于可供选用的材料往往是有限的，而且它们的机械性能又常常需要采用试验的方法来确定，无法直接控制，所以作设计常量处理较为合理。那些根据以往经验或资料可确定的参数，受工厂条件限制无法随意变动的参效，也都应取作设计常量，对

3、于应力、应变、压力、挠度、功率、温度等等设计者不能直接判断，而是一些具有一定函数关系式计算出的因变量，当它们在数学上易于消去时，也可不定为设计变量。但如果避免这种参数在数学上有因难测也可取为设计变量。总之对影响设计质量的各种参数要认真分析，慎重合理地选取设计变量。目标函数的建立目标函数是以设计变量表示设计所要追求的某种性能指标的解析表达式，用来评价设计方案的优劣程度。对于不同的机械设计有不同的衡量评价标准。从使用性能出发，有要求效率最高，功率利用率最好，可靠性最好，测量或运动传递误差最小，平均速度最大或最小，加速度最大或最小，尽可能满足某动力学参数要求等等。从结构

4、型式出发，有要求重量最轻，体积最小等等。也有从经济性考虑，有要求成本最低，工时最少，产值最大等等。而且往往要求同时兼顾几方面的要求。一般说来，目标函数越多，设计结果越趋完善，但优化设计的难度也相应增加。实际使用中应尽量控制目标函数的数目，抓问题的主要矛盾，针对影响机械设计的质量和使用性能最重要、最显著的问题来建立目标函数，保证重点要求的实现，其余的要求可处理成设计约束来加以保证。约束条件的确定设计约束是考虑边界和性能对设计变量取值的限制条件，边界约束规定设计变量的取值范围，在机械优化设计中，先对每个设计变量都给出明确的上、下界限约束是完全可能的，实践证明也是很有益

5、的。尽管其中某些约束会由于引入其它约束条件成为不起作用的消极约束，但对求解中确定计算初始点，估计可行区域，判断结果合理性等都会带来好处。在优化设计中，对于一个性能指标，可以取为目标函数，也可对定为设计约束(或称为性能约束)。例如机械设计中的强度条件、刚度条件、稳定性条件、援动稳定性条件等等。从计算角度上讲，约束函数的检验相对容易处理，因此可利用目标函数和设计约束可以相互置换的特点，根据需要灵活使用。在确定设计约束时，一般可以比常规设计考虑更多方面的要求，例如工艺、装配、各种失效形式、费用、性能要求等等。只要某种限制能够用设计变量表示为约束函数〔包括经验公式、近似表

6、达式等等)，都可以确定为约束条件。当然不必要的限制，不仅是多余的，还将使设计可行区域缩小（即限制了设计空间)，进而会影响最优结果的获得。数学模型的尺度变换数学模型的尺度变换，就是指改变各个坐标的比例，从面改善数学模型性态的一种技巧。设计变量的尺度变换在机械优化设计中，有时各设计变量的量纲不同且量级相差很大，使运算过程中各个设计变量的灵敏度差别很大，从而造成计算过程的不稳定和收敛性很差，乃至出现“病态现象”，这时可通过尺度变换使设计变量无量纲化和量级规格化来加以消除。目标函数的尺度变换目标函数尺度变换的目的，以二维问题为例，就是通过尺度变换使它的等值线尽可能接近于同

7、心圆或同心椭圆族，减小原目标函数的偏心度、畸变度，以加快优化搜索的收敛速度。但在实际工程设计中因函数复杂，要实现理想的变换困难很多，目前一般还仅仅限于用通过设计变量尺皮变换，使各坐标轴的刻度规格化，进而对目标函数的性态产生一些好的影响。约束条件的尺度变换在优化约束条件数很多时，常会造成约束函数值的数量级相差很大，有可能使计算结果误入歧途。为避免这种不正常情况，可将各约束条件式各自除以一个常数，使各约束函数的值均在（0，1）之间，称为约束规格化。以减小各约束条件与设计变量变化时的灵敏度差距，使问题得到一定程度的改善。但如果一个不等式约束条件是两个设计变量之间的比值函

8、数，那么就