函数单调性的定义与应用

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1、函数的性质——单调性【教学目的】使学生了解增函数、减函数的概念，掌握判断函数增减性的方法步骤；【重点难点】重点：函数的单调性的有关概念；难点：证明或判断函数的单调性一、增函数与减函数⒈增函数与减函数定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2.⑴若当x1(fx2),则说f(x)在这个区间上是减函数说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不

2、是增函数.例如函数y=x2，当x∈[0,+)时是增函数，当x∈(-,0)时是减函数.⒉单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在x1,x2那样的特定位置上，虽然使得f(x1)<(fx2

3、)，但显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“f(x1)<(fx2)或f(x1)>(fx2)”改为“f(x1)(fx2)或f(x1)(fx2)”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.⒊例题例1图6是定义在闭区间[-5，5]上的函

4、数y=f(x)的图象，根据图象说出y=f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，函数y=f(x)是增函数还是减函数.练习：1、函数的增减性的正确说法是：A．单调减函数B.在上是减函数,在上是减函数C.在是减函数,在是减函数D.除点外,在上是单调递减函数二次函数的单调性：对函数，当时函数在对称轴的左侧单调减小，右侧单调增加；当时函数在对称轴的左侧单调增加，右侧单调减小；例：讨论函数在(-2,2)内的单调性。二、函数单调性的证明步骤：①任取x1，x2∈D，且x1

5、即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．例1、证明函数在（1，+∞）上为减函数．例2、证明函数在R上是单调减函数。练习1证明函数f(x)=1/x在(0,+)上是减函数.练习2试判断函数在上的单调性并加以证明。例已知函数f(x)＝(a>0)在(2，＋∞)上递增，求实数a的取值范围．三、复合函数单调性对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果u＝g(x)在区间(a，b)上具有单调性，当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且y＝f(u)在区间(m，n)上也具有单调性，则复合函数y＝f(g(

6、x))在区间(a，b)具有单调性的规律见下表：例：函数的单调减区间是（）A.B.C.D.求函数单调区间（复合函数）1.函数的单调区间是（）A．（-，+）B.（-，0）（1，，）C.（-，1）、（1，）D.（-，1）（1，）2.下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是(  ).　A．  　　B．     C．　　D．3．函数的增区间是（  ）。　A．[-3，-1]B．[-1,1]C． D．4、已知函数，判断在区间〔0，1〕和（1，+）上的单调性。五、函数单调性的应用：判断函数的单调性；比较大小；解不等式；求最值（值域）。例（1）若函数

7、在上单调递增，在上单调递减，求其实数的取值；（2）若函数在上单调递增，其实数的取值范围；（3）若函数在上单调递增，其实数的取值范围；例若函数在上单调递增，其实数的取值范围；例已知函数是上的减函数，求实数的取值范围；练习判断函数的单调性1.在区间上为增函数的是:A.B.C.D.2.设是函数的反函数的一个单调增区间,则实数的取值范围是A.B.C.D.3.下列命题:(1)若是增函数,则是减函数;(2)若是减函数,则是减函数;(3)若是增函数,是减函数,有意义,则为减函数,其中正确的个数有:A.1B.2C.3D.04．在区间上是减函数,则实数

8、的取值范围是5.已知函数f(x)=

9、

10、＋

11、

12、的值随x值的增大而增大，求x的取值范围.6.是定义在上的增函数,则不等式的解集是7.已知函数f(x)=,用函数单调性的定义证明：在(－∞,+∞)上单调递减.8.讨论函数在区间[