分母中含有未知数方程叫做分式方程

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1、分母中含有未知数的方程叫做分式方程．如：等等都是分式方程．　　在此之前我们学过的方程，分母中都不含有未知数，都是整式方程，因此目前学过的方程可归纳为：　　2、解分式方程的基本思路——转化　　解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程．这种转化的具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，归纳如下：　　　　如：解方程：　　方程两边都乘以(x＋3)(2x－7)得　　2(2x－7)=3(x＋3)　　4x－14=3x＋9　　x=233、解分式方程的一般步骤　　（1）去分母：方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化整式方

2、程．　　（2）解整式方程．　　（3）验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是零，说明此根是原方程的根；若结果是零，说明此根是原方程的增根，必须舍去．见例1．　　（4）写出方程的解．解分式方程的一般步骤列表如下：4、列分式方程解应用题的步骤　　（1）审清题意，找出题目的等量关系，设出未知数．　　（2）根据等量关系，列出分式方程．　　（3）解分式方程，并验根．　　（4）写出答案．二、重难点知识归纳　　分式方程的解法及应用既是重点，又是难点．三、例题赏析例1、解下列分式方程：　　分析：　　（1）先确定最简公分

3、母为2(x－1)，再按步骤求解．　　（2）先将2－x化为－(x－2)，然后去分母求解．　　（3）先将分母分解因式，再确定公分母为6x(x＋1)．解：　　（1）方程两边同乘以2(x－1)，得　　　　2x=3－4(x－1)　　　　解之得　　　　检验：当时，2(x－1)0　　　　∴是原方程的根．　　（2）方程两边同乘以(x－2)，得　　　　x－3＋(x－2)=－1　　　　2x－5=－1　　　　解之得x=2　　　　检验：将x=2代入最简公分母x－2=0，　　　　∴x=2为原方程的增根．　　　　∴原方程无解．　　（3）原方程可变为：　　

4、　　方程两边同乘以6x(x＋1)，得　　　　12x＋6=5x　　　　解之得　　　　检验：将代入最简公分母　　　　　　　　∴是原方程的解．例2、甲乙两地相距150千米，一轮船从甲地逆流航行至乙地，然后又从乙地返回甲地，已知水流速度为3千米/时，回来时所用时间是过去的求轮船在静水中的速度．分析：　　本题的基本量之间的关系有：路程=速度×时间，v逆=v静－v水，v顺=v静＋v水，本题的等量关系为解：　　设轮船在静水中的速度为x千米/时　　则v逆=(x－3)千米/时，v顺=(x＋3)千米/时　　根据题意得　　解之得x=21　　经检验，

5、x=21是所列方程的解．　　答：船在静水中的速度是21千米/时．例3、甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做一天后，再由两队合作2天，就完成了全部工程．已知甲队单独完成工作所需的天数是乙队单独完成所需天数的求甲、乙两队单独完成各需多少天？分析：本题是研究甲、乙两队的工程问题，他们单独工作的工作量、工作效率、工作时间列表如下：　工作量工作效率工作时间（天）甲队1乙队1x　　甲、乙合作工作的工作量、效率、时间如表所示：　工作量工作效率工作时间（天）甲队1甲、乙合作2相等关系：乙做一天的工作量＋甲、乙合作2天的工作量=1解：

6、　　设乙单独完成工程需x天，那么甲单独完成需天．　　则根据题意，得　　即　　解得x=6经检验，x=6是原方程的根．　　　　答：甲、乙两队单独完成分别需要4天和6天．例4、解下列关于字母x的方程：　　(1)m2(x－n)=n2(x－m)(m2≠n2)　　(2)ay－bx=1(ab≠0)　　分析：　　这三个方程中，x是未知数，其他字母都是已知数，其步骤与解数字系数的方程相同，在最后系数化1时，注意字母的取值范围．解：　　（1）去括号，m2x－m2n=n2x－n2m　　　　m2x－n2x=m2n－mn2　　　　(m2－n2)x=mn

7、(m－n)　　　　∵m2≠n2,∴m2－n2≠0　　　　∴方程两边同除以(m2－n2)　　　　　　(2)由ay－bx=1得　　　　ay－1=bx　　　　∵ab≠0,∴a≠0且b≠0　　　　∴方程两边同除以b，得　　　　　　（3）去分母：b(x－b)=2ab－a(x－a)　　　　bx－b2=2ab－ax＋a2　　　　bx＋ax=b2＋2ab＋a2　　　　(b＋a)x=(a＋b)2　　　　∵a＋b≠0　　　　∴方程两边同除以a＋b，　　　　得x=a＋b例5、解方程：解法一：方程两边同乘以abx得　　　　bx＋a2b=ax＋ab2　

8、　　　bx－ax=ab2－a2b　　　　(b－a)x=ab(b－a)　　　　∵a≠b，∴a－b≠0　　　　　　　　检验：将x=ab代入原方程　　　　　　　　∴x=ab为原方程的解．解法二：由原方程得：　　　　　　　　方程两边同乘以abx　　　　ab(a－b)=(a－b)x