1.5 相互独立随机事件

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1、§1.5相互独立随机事件，独立试验模型例1一口袋中装有a只黑球和b只白球，采用有放回摸球，求：（1）在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率。（2）第二次摸得黑球的概率。解：以事件A＝{第一次摸得黑球}，B={第二次摸得黑球}。思考一、相互独立随机事件注意这里的P（A

2、B）=P(A)，即事件的发生与否，对事件发生的概率没有影响．从直观上讲，这很自然．因为我们这里采用的是有放回摸球，因此第二次摸球时袋中球的组成与第一次摸球时完全相同，当然第一次摸球的结果实际上不影响第二次摸球．在这种场合可以说，事

3、件A与事件B的出现有某种“独立性”。独立事件的定义当事件A和B满足P(A)>0，P(B)>0时，它们之间的独立性具有互相对称性质，称它们互相独立。两事件相互独立的定义（1.5.1）式对P(A)=0或P(B)=0也成立。所以我们可以给出两事件独立更一般的定义.两事件相互独立的性质思考如果两个事件互不相容是不是一定独立？例1.5.1设甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8。求在一次射击中，目标被击中的概率．解：令Ａ＝｛甲击中目标｝；Ｂ＝｛乙击中目标｝．n个事件相互独立的定义从定

4、义1.5.3看到，若Ａ１，Ａ２，…，Ａｎ相互独立，则其中任意两个事件是独立的，但是反过来却不一定正确。例1.5.2设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每一四面体标有号码１，２，３，４．令Ａ＝｛第一个四面体向下的一面出现偶数｝；Ｂ＝｛第二个四面体向下的一面出现奇数｝；Ｃ＝｛两个四面体向下的一面或者同时出现奇数，或者同时出现偶数｝．此时，样本空间为：计算P(A),P(B),P(C),P(AB),P(BC),P(AC),P(ABC).与独立性有关的例子例1.5.3如图1.5.1所示开关电路中，开关ａ，ｂ，ｃ，ｄ开

5、或关的概率均为１/２，且是相互独立的，求：（１）灯亮的概率；（２）已知灯亮，开关ａ与ｂ同时关闭的概率．ａｂｃｄ例1.5.3解;令Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别表示开关ａ，ｂ，ｃ，ｄ关闭这些事件．（２）已知灯亮，开关ａ与ｂ同时关闭的概率．例1.5.4设每支步枪射击飞机命中的概率为Ｐ＝0.004，求２５０支步枪同时独立地进行一次射击时，击中飞机的概率．二、串联，并联系统的可靠度计算可靠性研究的内容大致可分为下面几个方面：（１）可靠性寿命试验（２）可靠性维护策略（３）系统可靠度计算下面只介绍系统可靠度计算的最简单内容，作为

6、概率论应用的例子．可靠度的定义：通常是指在某段时间区间内元件或系统无故障工作（正常工作）的概率。下面只介绍如何通过元件可靠度来计算在元件的各种连接下的系统可靠度。令Ａｉ＝｛在时间区间［０，ｔ］内第ｉ个元件正常工作｝（ｉ＝１，２，…，ｎ），Ａ＝｛在时间区间［０，ｔ］内系统正常工作｝．并假定每一元件是否发生故障不影响其他元件的是否发生故障，即Ａｉ（ｉ＝１，２，…，ｎ）相互独立．（1）串联系统若一个系统由n个元件按图1.5.2连接，称为串联系统。因此，对串联系统要提高可靠性，必须要求元件数量越小越好。（２）并联

7、系统一个系统若由ｎ个元件按图1.5.3连接，称为并联系统．三、独立试验概型（１）每次条件都一样，且可能的结果为有穷个；（２）各次试验的结果不互相影响，或者称为相互独立。三、独立试验概型满足（1），（2）的ｎ次重复试验称为ｎ次独立试验概型．特别，当每次试验的基本事件只有两种，即只有两个事件Ａ及，且Ｐ（Ａ）＝ｐ，Ｐ（）＝ｑ＝１－ｐ时，称为ｎ次伯努利试验概型。伯努利概型几个例子例1.5.5设有８门火炮独立地同时向一目标各射击一发炮弹，若有不少于２发炮弹命中目标时，目标算作被击毁，如果每门炮命中目

8、标的概率为0.6，求击毁目标的概率P是多少？几个例子例1.5.6对某种药物的疗效进行研究，假定这种药物对某种疾病的治愈率Ｐ０＝0.8，现在１０个患此病的病人同时服用此药，求其中至少有６个病人治愈的概率P．几个例子几个例子小结1、相互独立随机事件的定义2、独立性的应用3、串联、并联系统的可靠度计算4、独立试验概型5、伯努利概型第一章总结思考1、假若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4％，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。2、甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率p,P>=1/2．问对甲

9、而言．采用三局二胜制合利，还是采用五局三胜制有利．设各局胜负相互独立。