5 二阶线性微分方程解的结构与通解性质

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1、§6二阶线性微分方程解的性质与通解结构二阶线性微分方程的概念二阶线性齐次微分方程解的性质与通解的结构二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解结构常数变易法一.二阶线性微分方程的概念定义1：二.二阶线性微分方程解的性质与通解的结构设有二阶线性齐次微分方程(2)关于(2)的解，我们有：定理1都是方程(2)的解，线性齐次方程的解具有可叠加性。说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.定义2成立，则称此n个函数在I内线性相关，否

2、则线性无关。例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.特别地:两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关Dec.15Wed.Review1.二阶线性微分方程(2)定理1若是方程(2)的解，则它们的任意组合：都是方程(2)的解，其中为任意常数。2.线性齐次方程的解具有可叠加性3.线性相关与线性无关成立，则称此n个函数在

3、I内线性相关，否则线性无关。定理2对高阶线性齐次方程，有类似定理：定理3若是n阶线性齐次方程其中为任意常数。的n个线性无关的特解，则它的通解为：三.二阶线性非齐次微分方程解的性质与通解的结构定理4设是非齐次方程的一个特解，为对应的齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解。证明：由假设知：例已知是对应齐次方程的通解，容易验证：故该方程的通解为，为该方程的一个特解.例1证明：如果和是的两个线性无关解，则是对应齐次方程的解。已知二阶线性非齐次方程的3个特解为求该方程满足初始条件的特解。证明：要求出非齐次方程的通解，须先构造齐次方程的通解

4、.只有零解。故得齐次方程的两个线性无关的特解，非齐方程的通解为：例2.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三解的叠加原理定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解四、常数变易法复习:常数变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为代入原方程确定对二阶非齐次方程情形1.已知对应齐次方程通解:设③的解为③由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④⑤令于是

5、将以上结果代入方程③:得⑥故⑤,⑥的系数行列式是对应齐次方程的解积分得:代入③即得非齐次方程的通解:于是得说明:将③的解设为只有一个必须满足的条件即方程③,因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化计算.情形2.仅知③的齐次方程的一个非零特解代入③化简得设其通解为积分得(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:例5.的通解为的通解.解:将所给方程化为:已知齐次方程求利用⑤,⑥建立方程组:积分得故所求通解为例6.的通解.解:对应齐次方程为已知对应的齐次方程有特解:令代入非齐次方程后化简得此题不需再作变换.特征根:设⑦的特解为于是得

6、⑦的通解:故原方程通解为(二阶常系数非齐次方程)⑦代入⑦可得:解：Hw:p3011(2,4,6,8)5,8.