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1、ESC§3.2极值的几何应用在资源一定的情况下,要求效益最佳的问题是最大值问题实际中而在效益一定的情况下,要求所消耗的资源最少的问题是最小值问题何谓最大值?最小值?ESC§3.2极值的几何应用最大值与最小值的定义或设函数在区间上,若则称是函数在区间或分别记作上的最大值或最小值,且对该区间内一切,有由最大值与最小值的定义知最大值与最小值统称最值.ESC§3.2极值的几何应用极值1.函数的极值是仅就函数有定义的区间内某一点的邻近,即在局部范围内比较函数值的大小,故2.一个函数在一个区间上可以有几个极大值和极小值
2、.3.极值只能在区间内部取得.1.而函数的最值是函数在所考察的区间上比较函数值的大小,故必有2.一个函数在一个区间上只能有一个最大值和最小值.3.最值可在区间内部取得,也可在区间端点处取得.区别最值若在区间内部求函数的最值,则只能在函数的极值中寻找.特别是在解极值应用问题时,常常是下述情况:联系§3.2极值的几何应用若函数在区间内仅有一个极大值而没有极小值,则该极大值就是函数在该区间内的最大值.若函数在区间内仅有一个极小值而没有极大值,则该极小值就是函数在该区间内的最小值.极大值最大值极小值最小值ESCES
3、C(1)分析问题,建立目标函数:解最大值与最小值实际应用问题的程序§3.2极值的几何应用(3)作出结论:按实际问题的要求给出结论.在充分理解题意的基础上,设出自变量与因变量.一般地,是把问题的目标,即要求的量作为因变量,把它所依赖的量作为自变量,建立二者的函数关系,即目标函数,并确定该函数的定义域;(2)解极值问题:应用极值知识,求目标函数的最大值或最小值;§3.2极值的几何应用ESC案例一块边长为24cm的正方形纸板,四角各截去一个大小相同的小正方形,然后将四边折起做一个无盖的方盒.问截掉的小正方形边长为
4、多少时时,能得到一个容积最大的方盒?最大容积是多少?该案例是在资源一定的情况下,即纸板的大小给定,要求效益最佳的问题,即要使方盒的容积最大.解案例(1)分析问题,建立目标函数按题目的要求,在纸板大小给定的条件下,要使方盒的容积最大是我们的目标.而方盒的容积依赖于截掉的小正方形的边长.这样,目标函数就是方盒的容积与截掉的小正方形边长之间的函数关系.§3.2极值的几何应用ESC解案例(1)分析问题,建立目标函数设截掉的小正方形的边长为,则方盒底的边长为(2)解极大值问题确定的取值,以使方盒的容积取最大值.令
5、,得驻点和(舍).由此知,截掉的小正方形的边长最长为12cm.若以表示方盒的容积,则与的函数关系为§3.2极值的几何应用ESC解案例(续)(2)解极大值问题因为当时,所以是极大值点.由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点,这也就是取最大值的点.(3)结论当截掉的小正方形边长cm时,方盒容积最大,最大容积为(cm3).当时,ESC解练习§3.2极值的几何应用这是容积一定,要求用料最省,即在效益一定的情况下,要求所消耗的资源最少的问题.(1)分析问题,建立目标函数贮油桶的容积一定,要求用料最省,这实际上就是以
6、圆柱形贮油桶表面积最小为目标.而圆柱形的表面积依赖于底半径和侧面高度.由于圆柱形贮油桶的体积(容积)已知,则侧面高度可用底半径来表示:设圆柱形贮油桶的底半径为,其侧面高度为,则由即要设计一个容积为54m3的有盖圆柱形贮油桶,问底半径为多少时,用料最省?得ESC解练习(续)§3.2极值的几何应用因贮油桶的上盖和下底面积都是,侧面积是若以表示贮油桶的表面积,则目标函数为(2)解极小值问题因由得驻点ESC解练习(续)§3.2极值的几何应用(2)由得驻点又,当时,由于在区间内只有一个极值点,且是极小值点,这就是取最
7、小值的点．所以是极小值点.当时,(3)结论当贮油桶的底半径m时,所设计的圆柱形贮油桶用料最省.
