第10章 扭转与剪切变形

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1、材料力学第10章扭转与剪切变形第10章扭转与剪切变形10.1扭转的概念及实例工程中有一类等直杆，其受力和变形特点是：杆件受力偶系作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴(如图10.1所示)，截面B相对于截面A转了一个角度，称为扭转角。同时，杆表面的纵向线将变成螺旋线。具有以上受力和变形特点的变形，称为扭转变形。图10.1扭转杆工程中发生扭转变形的杆件很多。如船舶推进轴(如图10.2a所示)，当主机发动时，带动推进轴转动，这时主机给传动轴作用一力偶矩，而螺旋桨由于水的阻力作用给轴一反力偶矩(如图10.2b所示)，使推进轴产生扭转变形。单纯发生扭转的杆件不多，但

2、以扭转为其主要变形之一的则不少，如汽车方向盘操纵杆(如图10.3所示)、钻探机的钻杆(如图10.4所示)等，都存在不同程度的扭转变形。工程中把以扭转为主要变形的直杆称为轴。图10.2船舶推进轴图10.3方向盘操纵杆图10.4钻探机的钻杆本章只讨论薄壁圆管及实心圆截面杆扭转时的应力和变形计算，这是由于等直圆杆的物性和横截面的几何形状具有极对称性，在发生扭转变形时，可以用材料力学的方法来求解。对于非圆截面杆，例如矩形截面杆的受扭问题，因需用到弹性力学的研究方法，故不多论述。10.2扭矩的计算和扭矩图10.2.1外力偶矩的计算传动轴为机械设备中的重要构件，其

3、功能为通过轴的转动以传递动力。对于传动轴等转动构件，往往只知道它所传递的功率和转速。为此，需根据所传递的功率和转速，求出使轴发生扭转的外力偶矩。设一传动轴(如图10.6所示)，其转速为n，轴传递的功率由主动轮输入，然后通过从动轮分配出去。设通过某一轮所传递的功率为P，由动力学可知，力偶在单位时间内所作之功即为功率P，等于该轮处力偶之矩Me与相应角速度之乘积，即(a)工程实际中，功率P的常用单位为kW，力偶矩Me与转速n的常用单位分别为Nm与r/min(转/每分)。此外，又由于于是在采用上述单位时，式(a)变为由此得(10-1)如果功率P的单位用马力()

4、，则(10-2)对于外力偶的转向，主动轮上的外力偶的转向与轴的转向相同，而从动轮上的外力偶的转向则与轴的转动方向相反，如图10.5所示。图10.5传动轴10.2.2扭矩及扭矩图要研究受扭杆件的应力和变形，首先要计算内力。设有一圆轴AB(如图10.6a所示)，受外力偶矩Me作用。由截面法可知，圆轴任一横截面m—m上的内力系必形成为一力偶(如图10.6b所示)，该内力偶矩称为扭矩，并用T来表示。为使从两段杆所求得的同一截面上的扭矩在正负号上一致，可将扭矩按右手螺旋法则用力偶矢来表示，并规定当力偶矢指向截面的外法线时扭矩为正，反之为负。据此，如图10.6b和

5、图10.6c所示中同一横截面上的扭矩均为正。作用在传动轴上的外力偶往往有多个，因此，不同轴段上的扭矩也各不相同，可用截面法来计算轴横截面上的扭矩。如图10.7a所示，轴AD受外力偶矩、、、的作用。设，求截面Ⅰ—Ⅰ、Ⅱ—Ⅱ、Ⅲ—Ⅲ上的内力。图10.6扭矩的正负规定图10.7截面法计算扭矩(1)假想用一个垂直于杆轴的平面沿Ⅰ—Ⅰ截面截开，任取一段为脱离体(如图10.7b所示)。由平衡方程，得(2)沿Ⅱ-Ⅱ截面处截开，取左段为脱离体(如图10.7c所示)，由平衡方程，得(3)沿Ⅲ-Ⅲ截面处截开，仍取左段为脱离体(如图10.7d所示)，由平衡方程，得将代入上式

6、，得为了表明沿杆轴线各横截面上的扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在截面的位置，常需画出扭矩随截面位置变化的函数图像，这种图像称为扭矩图(如图10.7e所示)，可仿照轴力图的作法绘制。【例题10.1】传动轴如图10.8a所示，其转速，功率由A轮输入，B、C两轮输出。若不计轴承摩擦所耗的功率，已知：，，及。试作轴的扭矩图。解：(1)计算外力偶矩。各轮作用于轴上的外力偶矩分别为图10.8(2)由轴的计算简图(如图10.8b所示)，计算各段轴的扭矩。先计算CA段内任一横截面2—2上的扭矩。沿截面2—2将轴截开，并研究左边一段的平衡，由图10.8c可知，得

7、同理，在BC段内在AD段内(3)根据以上数据，作扭矩图(如图10.8d所示)。由扭矩图可知，发生在CA段内，其值为。扭矩图表明：①当所取截面从左向右无限趋近截面C时，其扭矩为，一旦越过截面C，则为，扭矩在外力偶作用处发生突变，突变的大小和方向与外力偶矩相同；②外力偶之间的各截面(如CA段)，扭矩相同。根据上述规律，可直接按外力偶矩画扭矩图。作图时，自左向右，遇到正视图中箭头向上的外力偶时，向上画，反之向下画。无外力偶处作轴的平行线。请读者思考，若将A轮与B轮位置对调，试分析扭矩图是否有变化，如何变化？最大扭矩的值为多少？两种不同的荷载分布形式哪一种较为

8、合理？10.3圆轴扭转时的应力与强度条件上节阐明了圆轴扭转时，横截面上内力系合成的结果是一力偶