专训5　利用三角函数解判断说理问题

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1、数学备课大师www.eywedu.net【全免费】专训5　利用三角函数解判断说理问题名师点金：利用三角函数解答实际中的“判断说理”问题：关键是将实际问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学模型，运用解直角三角形的知识来解决实际问题．航行路线问题1．如图，某货船以24海里/时的速度将一批重要物资从A处运往正东方向的M处，在点A处测得某岛C在北偏东60°的方向上．该货船航行30分钟后到达B处，此时再测得该岛在北偏东30°的方向上，已知在C岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．(第1题)[来源:Z

2、xx

3、

4、k.Com][来源:Zxxk.Com]工程规划问题2．A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心、45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的笔直高速公路．问连接A，B两市的笔直高速公路会穿过风景区吗？请说明理由．(第2题)[来源:Zxxk.Com]“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】拦截问题3．【中考·荆门】如图，在一次

5、军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离．(结果不取近似值)(第3题)[来源:学。科。网Z。X。X。K]“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】台风影响问题4．如图所示，在某海滨城市O附近海面有一股强台风，据监测，当前台风中心位于该城市

6、的南偏东20°方向200km的海面P处，并以20km/h的速度向北偏西65°的PQ方向移动，台风侵袭的范围是一个圆形区域，当前半径为60km，且圆的半径以10km/h的速度不断扩大．(1)当台风中心移动4h时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km；当台风中心移动th时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到________km.(2)当台风中心移动到与城市O距离最近时，这股台风是否会侵袭这座海滨城市？请说明理由．(参考数据：≈1.41，≈1.73)(第4题)“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn

7、/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】答案1．解：若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．理由如下：如图，过点C作CD⊥AM于点D.依题意，知AB＝24×＝12(海里)，∠CAB＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°＝60°.在Rt△DBC中，tan∠CBD＝tan60°＝，∴BD＝CD.在Rt△ADC中，tan∠CAD＝tan30°＝，∴AD＝CD.又∵AD＝AB＋BD，∴CD＝12＋CD，解得CD＝6海里．∵6＞9，∴若继续向正东方向航行，该货船无触礁危险．点拨：将这道航海问题抽象成数学问题，建立解直角三角形的数学

8、模型．该货船有无触礁危险取决于岛C到航线AB的距离与9海里的大小关系，因此解决本题的关键在于求岛C到航线AB的距离．(第1题)　　(第2题)[来源:Z§xx§k.Com]2．解：不会穿过风景区．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于点D，根据题意得：∠ACD＝α，∠BCD＝β，则在Rt△ACD中，AD＝CD·tanα，在Rt△BCD中，BD＝CD·tanβ.∵AD＋DB＝AB，∴CD·tanα＋CD·tanβ＝AB，∴CD＝＝＝＝50(千米)．∵50＞45，∴连接A，B两市的笔直高速公路不会穿过风景区．3．解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平

9、行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则∠E＝∠F＝90°，拦截点D处到公路的距离DA＝BE＋CF.“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/数学备课大师www.eywedu.net【全免费】在Rt△BCE中，∵∠E＝90°，∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝×1000＝500(米)；在Rt△CDF中，∵∠F＝90°，∠DCF＝45°，CD＝1000米，∴CF＝CD＝500(米)．∴DA＝BE＋CF＝(500＋500)米，即拦截点D处到公路的距离是(5

10、00＋500)米．(第3题)　　(第4题)4．解：(1)100；(60＋10t)(2)不会，理由如下：过点O作OH⊥PQ于点H，如图．在Rt△POH中