2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题 含答案.doc

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1、www.ks5u.com2018年浙江省高中数学竞赛试卷一、填空题1.已知为正实数，且是奇函数，则的值域为．2.设数列满足，，则．3.已知，，，则．4.在八个数字，，，，，，，中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数．5.已知虚数满足，则．6.设，若平面上点满足，对于任意，有，则的最小值为，此时．7.在中，，且三角形的面积为，则的最小值为．8.设，则有个不同的解．9.设满足，则的取值范围为．10.四面体，，，，则该四面体外接球的半径为．二、解答题11.已知动直线与圆：相切，与椭圆相交于不同的两点，.求原点到的

2、中垂线的最大距离.12.设，且对任意实数均有，求的取值范围.13.设实数，，…，满足和，证明：.14.将个不同整数分成两组，，…，；，，…，.证明.15.如图所示将同心圆环均匀分成格.在内环中固定数字.问能否将数字填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同？2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一、填空题1.2.3.4.5.6.；7.8.9.10.二、解答题11.解：依题意可设：.因为直线与圆相切，所以，到直线的距离为，即.原点到的中垂线的最大距离为.12.解1：设，对于，所以只要考虑

3、.（1）当时，即.此时函数的最值在抛物线的左右端点取得，对任意有，所以，解得.（2）当时，即，此时函数的最值在抛物线的顶点和右端点取得，而对有，.（3）当时，即，此时函数的最值在抛物线的顶点和左端点取得，而对有，.（4）当时，即，此时函数的最值在抛物线的左右端点取得，对任意有，所以，解得.综上或.解2：设，则有，依题意，，或.13.证明：由条件，同号.反证法，假设.（1）若，同为正数，由，同号可知，，…，同号.由，同理.类似可证明：，，…，.因此，矛盾.（2）若，同为负数，由，同号可知，，…，均为负数，仍然有，

4、类似（1）可证得.14.证明：令，下面用归纳法证明.当时，不妨设，，.，当；当.假设对正整数成立，对正整数，不妨设，，.再设，则有，下证.由（1），得到；（2）若，则.15.解：设对应于内环，，…，的外环数字为，，…，，它是数字，，…，的一个排列.对，记外环数字在按顺时针方向转动格时，和内环数字相同，即，.根据题意，，，…，应是，，，…，的排列.求和.于是必须是奇数.对于奇数，我们取，，，可以验证，，，，…，，，，，…，，符合题目要求！