2018年浙江省高中数学竞赛预赛真题

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1、一、填空题1.已知Q为正实数，且f(x)=7—是奇函数，则/(兀)的值域为aa+120182.设数列｛o“｝满足Q]=l,Q”+]=5q“+"=1,2,…)，则•n=13.已知e(3兀、4/、7112“(71-—.71,cos(a+/?)=—,sina——=——，贝903/?+-4丿5<4j13L4丿4•在八个数字2,4,6,7,8,11,12,13屮任取两个组成分数•这些分数屮有个既约分数.6•设AB=10,若平面上点P满足，对于任意Ze/?,3,则M・PB的最小值为,此时PA+PB=.7.在AABC屮，A3+AC=7,且三角形的面积为4,贝ijsinZA的最小值为

2、.8.设/(x)=

3、x+l

4、+

5、x

6、-

7、x-2

8、,则/(/(兀))+1=0有个不同的解.9.设g/?满足兀一6“一4丁无一歹+12=0,则兀的取值范围为.10.四面体P-ABCfPA=BC=y/6,PB=AC=y/s,PC=AB=応,则该四面体外接球的半径为.二、解答题兀211.B知动直线/与圆0：»+员=1相切，与椭圆—+〉，2=i相交于不同的两点A,求9-原点到的中垂线的最大距离.12.设awR,且对任意实数b均有maxx2+ax+b>1,求g的取值范围.xg[0,1]201813.设实数旺，x2,…，兀2018满足丘+i§££+2(斤=1，2,…,2016)和匚[兀”=1，证明：n

9、=•^1009^1010—1•14•将2/7(/?>2)个不同整数分成两组Q],3…，Cin；b,方2，$•证明Xai~^j~X（aj~ai+%_切）n斤・l3)格•在内坏中固定数字1〃•问能否将数字1〃填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字相同?2018年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案一.填空题z1152019807756“5.-11.(——,-)2.3.——4.36221616656.—16；67.728.39.14-2V13

10、=尬+加伙工0)・因为直线/与圆O相切，所以，O到直线/的距离为1,即,=1.4原点到A3的中垂线的最大距离为一.312.解1：设f(x)=x2+ax+b,对于

11、/?

12、>1=>

13、/(0)

14、>1,所以只要考虑b0.此时函数/(x)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意问<1有/(i)=i+d+b>/(o)=b,所以/(i)=i+d+/?ni,解得67>1.(2)当0<—纟W丄时，即—lWdvO,此时函数/(x)的最值在抛物线的顶点和右端点取得,22而对b=0冇

15、/(1)

16、=

17、1+«

18、<1,/•(拧)=怜<1.(3)当时，即-2

19、最值在抛物线的顶点和左端点取得,而对〃=0有

20、/(0)

21、=附<1,/•(_£)彳于卜.⑷当-->W，即aW-2,此时函数/(X)的最值在抛物线的左右端点取得，对任意b<1有

22、/(0)

23、=冏vl,所以/(l)=l+a+/7<-l,解得a<-3.>1>1，或tz5-3・解2：设m=maxx2+ax+h,则有go,ijm>b,m>

24、l+€7.+Z?

25、^>2m>

26、Z?

27、+

28、l+€z+Z?

29、>

30、1+€7.

31、依题意,13.证明：由条件兀+2同号•反证法，假设Kooq^ioio>】•（1）若兀加，画0]0同为正数,由兀「£+2同号可知*X29…'兀2（）18同号•rh二/““—£+1/兀"+2

32、一X1009/X1010/兀1011出£+1s££+2nss7—sXn"1008兀1009"1010二>-^i(x)9-^1010—兀1011兀1(X)8占011兀1008>1，同理西°°9=“IE.兀1008<兀1007"1008兀1007^1011X1012_兀1010"1011兀1012^10100兀1007占012>1•类似可ill：明：西006州（）13>1，西005兀1004>1，…，西七018>1•2018因此匸[暫>1,矛盾./

33、=1（2）若兀]（朋，无

34、0]0同为负数，由£，£+2同号可知兀I，X"…，兀2018均为负数，仍然有YY尤+】W££+2n亠5亠，类似（1）可

35、证得.14.证明：令町=工

36、4一乞一X（幻一q+

37、巧一也），下面用归纳法证明Tn>n.Ii/

38、勺_q

39、+

40、勺一">

41、——马一血—b、当q<勺=>石=q_d]+也+优+恂>2；当q>b^>T2=b2-a2+ci}+b}>2.假设对正整数〃成立，对正整数几+1,不妨设绚<色<・・・<%,勺<仅<…VO*,afl+l