对一道中考题解题错误反思

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2006年杭州市数学会评选论文对一道中考题解题错误的反思杭州市启正中学应晓蔚[摘要]：本文通过对学生在一道中考数学应用题解题过程中的高错误率的分析，得出当前学生存在的数学实践应用能力弱的主要原因是，一：过多的机械式训练使学生思维僵化；二：不重视解决应用问题能力的培养；三：缺乏对影响应用题学习的非智力因素的培养。文章着重从四个方面论述了应用题教学的改进手段。[关键词]：应用题教学能力一、问题的缘起06年杭州市中考数学卷23题：杭州休博会期间,嘉年华游乐场投资150万元引进一项大型游乐设施.若不计维修保养费用,预计开放后每月可创收33万元.而该游乐设施开放后,从第1个月到第个月的维修保养费用累计为(万元),且;若将创收扣除投资和维修保养费用称为游乐场的纯收益(万元),也是关于的二次函数，若维修保养费用第1个月为2万元,第2个月为4万元。(1)求关于的解析式；(2)求纯收益关于的解析式；(3)问设施开放几个月后,游乐场的纯收益达到最大?几个月后,能收回投资?该题是一个较普遍的二次函数应用题，粗粗一看，内容不显生涩，对初三学生而言则似曾相识，难度不算太大，然而试卷中学生的卷面解答却不尽人意。主要错误试归纳如下：错误1：看到维修保养费用第1个月为2万元,第2个月为4万元及解析是＝，许多考生马上用x＝1,y＝2；x＝2,y＝4带入求解导致错误。错误2：认为纯收益＝创收－维修保养费用，得纯收益＝33－（）。错误3：计算＝33－（）－150时得＝33－－150或是＝33＋－150等。二、错误的分析引起这些错误的原因是什么呢？对学生解题的错误，Newman（197 7）认为学生在解一步文字题时，要想得到正确的解答，必须扫清一系列障碍，其中的任何失误均会影响解题的进程，导致最后解题的失败。在此意义下，Newman从解题过程角度提出错误的层级，将其分为五个水平：阅读、理解、转换、加工技能、编码。理解错误指的是没有掌握问题中所有信息的意义。操作技能的错误指的是与算法有关的错误。编码错误指的是书写错误，如笔误等。笔者认为，有些错误是与多个层级相关的，结合Newman的观点可以进一步分析以上错误的原因。1、从学生答卷角度分析错因1：阅读理解失之偏颇。粗心大意，读题不仔细，将“维修保养费用累计”误解为“某时间段维修保养费用”。造成这一错误，一方面可能是由于长期的机械练习形成了解题的思维定势：看到题目中的，和数据x＝1,y＝2；x＝2,y＝4，就不加思索，用待定系数法；另一方面，由于这是一场进入高中的升学考试，有的同学比较紧张，害怕时间不够，在读题上花的时间不多，匆匆浏览，未看清关键词即仓促下笔。错因2：与理解转换忽略关键词相关。文字解析中须将“纯收益”转换为“创收－维修保养费用累计”，忽略了本题还有“投资150万元”，造成解题建模时的关键错误。许多学生缺乏把实际问题转化为数学问题的能力。平时他们只是机械地模仿简单的应用题的套路，一些熟悉的应用题，一看便知是什么类型，但遇到一些文字叙述较长、与平时练习有细微差异的字句，极易被这些设置“隐秘”的“陷阱”迷惑，只是凭借感觉与记忆想当然地解题，往往造成大错。这除了思维惰性，更主要是由于知识面狭窄，不理解问题中概念间的关联所致。根本原因是缺乏解决实际问题的综合能力。错因3：即是操作技能方面的错误。这类错误归因于解实际应用问题的心理素质差。由于应用题具有灵活性强、难度大、要求高等特点，学生在思想上对其有排斥倾向，心理上有强烈的畏惧感。这种不得已而为之的心态，使不少学生在试卷上一见到文字表达就心慌意乱，过分紧张，希望能够赶快将分拿下，结果往往事与愿违。2．从教师施教的角度分析近年来的中考题中，应用题的内容及形式不断翻新，摆脱了原有的陈旧模式，题目涉及面广、综合性强、难度大，它要求学生必须具有更扎实的综合基础知识、更快捷的阅读能力和更有效的理解、分析、判断能力。但许多教师的教学方式却跟不上改革的步伐，主要表现在以下三个方面：过多的机械式训练使学生思维僵化。部分教师为追求课堂效率，常就题论题，强化解决问题的常规思维，反复操练，使学生形成了不良的思维定势，以致解题时灵活不足，死板有余。 不重视解决应用问题能力的培养。由于很多应用题实际背景复杂、难度大，一些教师对学生缺乏信任、对学生能力估计过低，教学上放不开，常将应用题的实际背景删去，教学多系自己讲解为主，学生自主阅读、分析活动少，因而学生是“听起来懂，做起来难”。许多学生一碰到有新背景、新概念的应用题，题还没读、就被题吓倒，根本谈不上读题、理解转换、建模、反思等能力的训练，有的总是停留在模仿——操练的低水平上。缺乏对影响应用题学习的非智力因素的培养。很多学生从小怕学应用题，对应用题学习根本无兴趣可言。良好的学习兴趣是学习活动的自觉动力，但许多教师未能引起重视。在应用题教学中，有些教师只能死盯教材、复习用书上有限的几道题目，不管难易、不根据学生实际，将题目做完算数，不会切实设计有利于激发学生兴趣的应用问题和实践活动。因此学生对应用题无兴趣、无信心，应试心理素质差。　　三、改进应用题教学的策略全日制义务教育《数学课程标准》强调，数学课程要“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，……”。从本次考题的分析看，我们以往教学应用题的弊端在于机械的理论式的题海战术，忽视了学生自主解决实际问题能力的培养,使得学生在中考时,由于实际应用能力缺陷而错误百出。因此改进应用题教学迫在眉睫，笔者根据多年的教学实践谈一些认识。 1、创设应用题教学情境传统应用题教学往往把知识简单化，以便让学生更容易理解，而这常常会使教学脱离实际生活情境，使学生所形成的知识教条化、僵化而无法灵活迁移。建构主义者提倡情境性学习，主张学习应在真实的任务情境中进行，让学生解决具有一定复杂性的真实问题。例如，在学习一元一次方程应用题时，可设置如下问题，创设情境。例1、电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A是每月收月租费50元，此外通话时间按0.4元/分加收通话费；计费方法B是不收月租费，通话时间按0.6元/分收通话费。（1）用计费方法B的用户一个月累计通话360分所需的话费，若改用计费方法A，则可通话多少分？（2）计费方法B通话75分所需的话费，若改用计费方法A，则可通话多少时间？（3）这两种计费方式哪种更合算？ 在应用题教学中，情境教学引导学生借助形象思维理解抽象的数量关系，从整体上把握解题思路。情境问题能有效防止学生的思维定势，在探索情境问题时，学生与其说是在学习，还不如说是在做身边的一件事情。另外，学生对教师设计的情境问题充满好奇，急切的想探究、理解疑问之处，一旦成功，他们即会体验到成功的快乐，如果多次获得成功，他将会形成稳定的学习兴趣，因此，教师创设应用题教学情境，不仅能引起学生的好奇心、激发兴趣，而且还可以让学生有成就感。然而情境的创设不能放任随意，流于形式，只有以数学问题为本质，学生的认知规律为依据，才能创设出有利于学生思维发展的教学情境，从而培养学生的应用题学习兴趣，提高教学质量。比如以下问题对七年级学生而言是个较好的情境问题，对九年级学生而言则不太能满足他们的好奇心了。例2：杭州有三个商场搞促销活动，A商场推出满300元减135元活动，B商场推出满400元减160元活动，C商场推出满200元送200元活动，试比较哪个商场的折扣最低？若小明妈妈在A商场买一件标价598元的外套，为凑足600元，她又买了一双标价25元的袜子，那么她的实际折扣是多少？若在三个商场都有她想买的一件标价220元，一件标价160元的商品，则分别在三个商场购买的实际折扣各是多少？2、依据学生实际，合理使用教学素材。应用题教学资源多种多样，来自教材、复习用书、中考试题、网络等等。各种题目难易不同、价值不等，一些复习书、试题集上常常会出现相似题或雷同题，教师若不根据学生实际，采取题海战术，则不仅造就学生的思维定势，而且会使学生对应用题没兴趣、没信心，对能力培养更是无从谈起。因此，教师应依据学生实际合理使用资源。初一的新生，以从未有的自豪感、新鲜感和好奇心走进中学大门。尽管有的学生过去害怕应用题，但他们希望有一个新的开始，摆脱原有的恐惧与困惑，教师应抓住这一契机，让学生对应用题有一个新的认识。比如，在学习有理数运算时，可以让学生进行根据算式1200×（1-20%-36%）编应用题的练习，这种简单的做法，不仅能加深学生对算式的理解，更重要的在于将应用题贯穿于教学的始终，培养学生的数学应用意识。在应用题例题、练习设计时，教师应做到设计梯度合理、难度适宜，坚决舍弃无思维训练价值的题、合理改编大量相似题型，使题目在训练学生思维方面产生更好的效果。比如一题多问、变式训练、改题编题都能较好的发挥现成资源最大效能，促成学生的有效学习。例3：如图1，用长为24m的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃.（1）设矩形的纵边为x（m），面积为y(m2)，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？ 图1图2图3变式1：将苗圃改为一面靠墙，并在与墙平行的一边开一道1m宽的门（门不用篱笆做材料），其余条件不变，当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？变式2：若围成中间隔有一道篱笆的矩形苗圃，且墙的最大可用长度为10m，当x为何值时，所围苗圃的面积最大，最大面积是多少？本题原题结论与条件关系直接，数量关系清晰明了，学生易于建立目标函数顺利求解。变式1数量关系略微复杂，但有原题为基础，学生能抓住问题关键在于正确表示出矩形苗圃的横边长。变式2除了已知纵边，表示出横边建立目标函数外，还需分析出自变量的取值范围才能正确求得最大值。三个小题由浅入深，层层递进，每一小题为后一题做好铺垫，这种一题多变的设置能使思维能力一般的学生得到很好的训练。3、重视学生活动，培养应用能力。（1）、解题探究活动应用题探究活动即：在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题抽象成数学问题的过程，这一过程需要给学生充足的时间探索、适度的空间交流。例4：有一种葡萄,从树上摘下后不保鲜,最后只能存放一周,如果放在冷藏室,可以延长保鲜时间,但每天仍有一定数量葡萄变质,假设保鲜期间的个体重量基本保持不变,现有一个体户,按照市场价格收购这种葡萄200千克放在冷藏室内,此时市场价为2元,椐测算,此后每千克鲜葡萄的价格每天可上涨0.2元,但是,存放一天需各种费用20元,日平均每天还有1千克葡萄变质而被丢弃。该个体户将这批葡萄存放X天后将鲜葡萄一次性出售,可获利润Y为多少?最大利润Y是多少?本题数量关系比较复杂，学生在探究时会出现各种错误的理解，教师在碰到这种问题时，不能急于求成，看到学生不会做就开始讲解。应让学生交流各自的理解和解答，分析题目的背景关系、数量关系、问题求解的目标等等。并且应将学生的错解作为课堂的生成资源，如让学生解释Y=（2+0.2x-2）×200-20x或Y=（2+0.2x）（200-x）-20x等错误式子的实际意义。通过探索、交流活动，学生能获得解题成功的经验和失败的教训，如果经过长期的训练，必定形成一种较强的问题转换能力。 当然，学生的探究能力存在差异，因此问题探究后，教师必须作出及时的小结，指明同类问题解决的方向、方法及学生探究过程中存在的疑问。如：上题中解决问题的方向是确定目标函数，然后由目标函数寻找条件，理清条件中的各数量关系，具体可用列表法（见下表）。教师的小结为学生理顺了不畅的探究过程，更为今后的探究解题指明方向。背景关系数量关系进货单价（单位：元）2销售单价（单位：元）2+0.2x销售量200—x费用20x利润=销售总额—成本—费用Y=（200-x）（2+0.2x）-400-20x（2）、课外实践活动生活中有许多类似上题的真实问题。布置作业可以这样做： 设计并解决一个生活中的一次函数或二次函数的应用性问题。因为数学应用题背景千变万化，有些知识背景的意义不是教师课堂教学所能全部传授的。而对相关知识的不理解，必然阻碍探究活动的进展。因此，应用题教学的时空范围，应突破课堂和教室这狭窄的时间和空间，更多地融入社会。在教学实践中，教师应给学生布置一些切实可行的专题调查任务，促使学生参加课外实践。例如：对七年级的学生，可以布置下列调查设计题：向家人了解或查阅你家支付电费，或水费，或其它费用的收据、帐单等。这些费用是怎样计算的？请用适当的代数式表示，然后把得到的结果在班里交流。对高年级的学生则须布置一些较有深度的研究小课题。如：某商店某一类商品每天纯利润的增减情况；二年期的银行存款，一年一年存和二年一存之间的关系等。        这些实践活动的开展，既可以扩大学生的知识面，让学生真正了解折扣、费用、利润、利率、折旧、税率等常用的经济生活知识，有一定的知识储备，又培养学生自主解决问题的习惯，真正培养应用能力。4、渗透应用题学法指导，提高解题心理素质。遇到新情境应用问题时，除了平时练就扎实的基本功外，具备良好的心理素质，也是致胜的不可小觑之因素。因此，在平时应用题学习中，教师应有意识的渗透心理训练。（1）阅读、理解要细心第一，略读识大意。许多应用题文字比较多，信息量比较大。遇此不要 惊慌失惜，要做好充分的心理准备，先快速地浏览一遍，了解题目的大意：题目叙述的是什么问题，条件是什么，求解什么，涉及哪些基本概念。同时，教会学生手脑结合，一边读，一边记，一边画出相应的示意图。便于查看，避免信息的遗漏。第二，理解抓关键。题目中关键词语和重要语句往往是重要信息所在，仔细辨析异同，是综合认知的出发点。因此，教会学生在略读识大意的基础上逐字、逐词、逐句进行研读，弄清含义及其相互之间的联系。比如，“至多”、“至少”，“都是”、“不都是”，“增加了”、“增加到”，“累计”等词语在解题中的关键作用及差别，务必抓住、用准。（2）转换、调试需耐心将应用题转换为数学题是解答应用题的关键，也是学生感到较困难的一步。这一步一般学生往往不能一次成功。要求学生在思维受阻时，保持头脑冷静，耐心调试，分析所列式子是否符合题中各项条件。例5：宏志高中高一年级近几年来招生人数逐年增加，去年达到550名，其中面向全省招收的“宏志班”学生，也有一般普通班学生。由于场地，师资等限制，今年招生最多比去年增加100人，其中普通班学生可多招20％,“宏志班"学生可多招10％，问今年最少可招收“宏志班”学生多少名?本题中有许多类似的关键词。许多学生看到：“最多比去年增加100人”、“多招20％”、“多招10％”、“最少可招收学生多少名”等词语就一头雾水、含混不清，无从下手。这时教师应让学生保持头脑冷静，反复阅读，琢磨这些关键词的含义，反复调试各等量关系和不等关系，直到解决问题为止。（3）回顾、反思要恒心除了反思解题错误以外，解题中的反思与解题后的反思也非常重要。如本次中考题的错误一，导致求得的=31x–15,这与题中所给条件也是关于的二次函数矛盾,学生若能在此思考,则必定能寻找出错误的原因，使解答顺利进行。但如果平时在解题时没有反思的意识和习惯，在考试时就更无暇顾及了。要想训练学生的反思习惯，必需让学生尝到解题后反思的“甜头”。例6：某学校有甲、乙两个长方体的蓄水池，将甲池中的水以每小时8立方米的速度注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度y(米)与注水时间x(时)之间的函数图象如图所示，结合图象求注水多长时间后甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同． 本题一般学生都能分析出蓄水量=水池底面积×水深，由图象易得水深与注水时间的关系式：y甲=-x＋4，y乙=3/2x+1；而甲、乙池的底面积如何计算呢？一般学生都将图形意思转化为：甲池水深4米，以每小时8米3的速度放水，经4小时放完，所以甲池共有8×4=32米3水，甲池底面积=32÷4=8米2。甲池水注入乙池后，乙池水升高6米，所以乙池底面积=32÷6=16/3。然后将求得的底面积、水深关系式代入求解。若教师能引导学生反思题意，思考蓄水体积与水池底面积、水深的比例关系。那么许多学生都能想到：甲池水全注入乙池后，乙池水深7米，所以当甲、乙两池水量相等时，甲池水深是3.5米。由此得到：3.5=3/2x+1，x=5/3。即5/3小时后，两池水量相同。只有反思，才能加强理解，为解题带来事半功倍的效果。只有持之以恒，反思各种错误、反思各种解法，反思各种题型的解题策略才能在应用题解题方法上有质的飞跃，才能在试场上临危不乱，灵活应变。 在实施素质教育的今天，如何更好地培养学生解决实际问题的能力是每一个教师都在思考、探索的问题。作为数学教师，只要在思想上高度重视，洞察学生学习上的实际困难，在行动上精心安排，始终着眼于生活实践，注意优秀教学素材的挖掘，激发学生的好奇心，培养学生的自主解题能力，那么应用题教学将会促进素质教育，学生素质的提高也将不仅仅体现在中考的数学分数上。参考文献[1]M.A.(KEN)Clements.Analyzingchildren’serrorsonwrittenmathematicaltaskEducational.StudiesinMathematics.1980.11[2]陈琦、张建伟.建构主义与教学改革.教育研究与实验.1998.3[3]数学课程标准解读（实验稿）.北京师范大学出版社.2002.5[4]申烨晖.应用题教学中数学阅读能力的培养.数学教学.2005.11