第二章 平稳时间序列模型及其特征

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1、1第二章平稳时间序列模型及其特征在本章，我们介绍平稳时间序列的三种主要类型的模型，AR模型、MA模型、ARMA模型，这三种模型都是线性模型，它们能用有限的参数刻画时间序列的动态性。尽管线性关系的假定在解决实际问题时是一个比较苛刻的条件，但无疑它是理论研究的基础。这三种模型是最基本的时间序列模型之一，对这三种模型性质的研究有助于研究更为复杂的时间序列模型。2第一节模型类型及其表示一、预备知识3一阶差分(相距一期的两个序列值之间的减法运算称为1阶差分运算)阶差p分步差k分对1阶差分后序列再进行一次1阶差分运算称为2阶差分▽2xt=▽xt-▽xt-1依此类推，对p-1阶差分后序列

2、再进行一次1阶差分运算称为p阶差分42.滞后算子滞后算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个滞后算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻记B为滞后算子，有5，其中6线性差分方程齐次线性差分方程7特征方程特征方程的根称为特征根，记作齐次线性差分方程的通解不相等实数根场合有相等实根场合复根场合89AR（p）模型：MA（q）模型：ARMA（p，q）模型：10二、自回归模型一阶自回归模型AR（1）1112AR（1）模型的特例——随机游动13随机游动模型有以下特征：1）模型有非常强的一期记忆性。2）系统的一步超前预测。3）与AR（1）模型类似，随机游动模型可以写成，可以看

3、出噪声对yt的影响并不随着时间的推移而减弱。14一般自回归模型模型的特点有：15三、移动平均模型一阶滑动平均模型MA（1）用MA（1）模型作预测，那么得到的预测值仅仅取决于上期系统的随机扰动项。16q阶滑动平均模型MA（q）有限个白噪声的和总是平稳的，因此通常MA（q）模型是平稳的。如果对该模型作向前一步预测，则有17四、自回归移动平均模型1819当q=0时，ARMA（p，0）模型就是AR（p）模型，当p=0时，ARMA（0，q）模型就是MA（q）模型，因此自回归模型和移动平均模型都是ARMA（p，q）模型的特例。20第二节格林函数和平稳性一、ARMA（p，q）的格林函数（

4、一）ARMA（p，0）系统的格林函数若一个系统被表示为yt=，则系数函数称为格林函数或记忆函数。21MA（q）过程格林函数为AR(P)AR（P）过程格林函数为22ARMA（p，q）的格林函数23例2求模型的格林函数对比等式左右两边有因此模型的格林函数2425二、系统的平稳性（一）AR(p)系统的平稳性条件平稳域：26例3求一阶自回归模型的平稳域解：即平稳域为：27例4求二阶自回归模型的平稳域解：特征方程需满足：即：28(二)ARMA(p,q)系统的平稳性条件ARMA模型平稳性完全取决于模型中的AR部分，如果模型中的AR部分是平稳的，则ARMA模型是平稳的。29第三节逆函数和

5、可逆性一、MA（q）模型的可逆域逆函数形式:I（B）称为逆函数3031例5判断MA（2）模型是否可逆解：特征方程，可逆域为：满足可逆条件，因此可逆。32二、MA（q）模型的逆函数33例6求模型的逆函数解：34三、ARMA（p，q）的可逆域与逆函数35第四节平稳时间序列的统计特征一、自相关函数36373839（二）MA（q）的自相关函数4041二、偏相关函数4243Yule-Wolker方程：44偏相关函数：45本章小结1．AR模型、MA模型和ARMA模型是三种基本的线性时间序列模型，能够用有限的参数刻画系统的动态性。这三种模型属于随机差分方程，因此特征方程对研究三类模型的统

6、计特性具有重要意义。2．AR模型的逆函数表示是指用无限阶的MA模型来表示有限阶的AR模型，格林函数就是无限阶MA模型的系数。AR模型平稳性条件是的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内，满足这个范围的自回归系数区域构成平稳域。3．将有限阶MA模型表示为无限阶AR模型，就得到MA模型的逆转形式。MA模型具有可逆性的条件是的根在单位圆外或者特征方程的根在单位内。MA模型的格林函数与AR模型的格林函数在形式上是一致的。4．ARMA模型的平稳性取决于其中AR部分是否平稳，ARMA模型的可逆性取决于模型中的MA部分是否可逆。5．AR模型的自相关函数拖尾，偏自相关函数截尾，MA模型的自相

7、关函数截尾，偏自相关函数拖尾，ARMA（p，q）的自相关函数和偏自相关函数都是拖尾的。