平稳时间序列模型及其特征.docx

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1、第一章平序列模型及其特征第一模型型及其表示一、自回模型（AR）由于系性的作用，序列往往存在着前后依存关系。最的一种前后依存关系就是量当前的取主要与其前一期的取状况有关。用数学模型来描述种关系就是如下的一自回模型：Xt=φXt-1+εt（常作AR(1)。其中｛X｝零均（即已中心化理）平序列，tφ为t对Xt－1的依程度，εt随机序列（外部冲）。X如果Xt与去期直到Xt-p的取相关，需要使用包含Xt－1，⋯⋯Xt-p在内的p自回模型来加以刻画。P自回模型的一般形式：X=φXt－1+φXt－2+⋯+φXt－p+εt（t12p了便运算和行文方便，我引入滞后算子

2、来模型。B滞后算子，即BXt=Xt-1,则B(Bk-1Xt)=BkXt=Xt-kB(C)=C(C常数)。利用些号，（Xt=φ1BXt+φ2B2Xt+φ3B3Xt+⋯⋯+φpBpXt+εt从而有：（1-φ1B-φ2B2-⋯⋯-φpBp）Xt=εt算子多式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B2-⋯⋯-φpBP）,模型可以表1示成φ（B）Xt=εt(例如，二阶自回归模型Xt=0.7Xt-1+0.3Xt-2+0.3Xt-3+εt可写成（1-0.7B-0.3B2）Xt=εt二、滑平均模型（MA）有，序列Xt的是关于去外部冲的，在种情况下，Xt可以表示成去冲和在冲的性

3、合，即Xt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-⋯⋯-θqεt-q(此模型常称序列Xt的滑平均模型，MA(q)，其中q滑平均的数，θ1，θ2⋯θq参滑平均的数。相的序列Xt称滑平均序列。使用滞后算子号，（Xt=（1-θ1B-θ2B2-⋯⋯-θqBq）qt=θ(B)εt(三、自回滑平均模型如果序列｛Xt｝的当前不与自身的去有关，而且与其以前入系的外部冲存在一定依存关系，在用模型刻画种特征，模型中既包括自身的滞后，也包括去的外部冲，种模型叫做自回滑平均模型，其一般构：Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+⋯⋯+φpXt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-⋯

4、⋯-θqεt-q(简记为ARMA(p,q)。利用滞后算子，此模型可写φ（B）Xt=θ(B)εt（2第二性序列模型的平性、可逆性和性首先介两个概念。①序列的形式：｛Yt｝随机序列，｛εt｝白噪声，若｛Yt｝可表示：Yt=εt+G1εt-1+G2εt-2+⋯⋯+Gkεt-k+⋯⋯=G(B)εt且Gk，称｛Yt｝具有形式，此｛Yt｝是平的。系1数｛Gk｝称格林函数。它描述了系去冲的性度。②序列的逆形式：若｛Yt｝可表示：εt=Yt-π1Yt-1-π2Yt-2-⋯⋯-πkYt-k-⋯⋯=π(B)Yt且k，称｛Yt｝具有逆形式（或可逆形式）。1一、MA模型1.

5、MA模型本身就是形式。2.MA(q)是平的（由上一章的例），MA（∞）在系数数收的条件下平。3.MA(q)模型的可逆性条件。先以MA（1）(Yt=εt-θ1εt-1)例行分析。MA(1)的可逆性条件：11。如果引入滞后算子表示MA(1)，3则Yt=（1-θ1B）εt，可逆条件11等价于θ(B)=1-θ1B=0的根全在位外。于一般的MA(q)模型，利用滞后算子表示有：Yt=（1-θ1B-θ2B2-⋯⋯-θqBq）εt=θ(B)εt其可逆的充要条件是：θ(B)=0的根全在位外（明Box-Jenkins，P79）。在可逆的情况下，服从MA(q)模型的序列可

6、以表示成无的AR模型：θ-1(B)Yt=εtMA(q)的可逆域：使θ(B)=0的根全在位之外的系数向量（θ1，θ2，⋯⋯，θq）所形成的集合。例：求MA(2)的可逆域。解：由Ytt1t12t2，其特征方程：(B)11B2B20方程的两个根：1121222122124422由二次方程根与系数的关系，有121,12122当MA（2）平，根的模1与2都必大于1，因此必有：412112由根与系数的关系，可以推出如下式子：21211(11)(11)121(11)(11)12由于1、2是实数，1与2必同为实数或共轭复数。又因为i1，因此110i故211(

7、11)(11)112反之，如果21，且1。那么从11可以推出至21212少有一个1，例如，假设1，则根据11)(11i1(1)1可推出12(11)(11)0，由110可以推出110，从而21。因此，1212(B)11B2B20的根在单位圆之外。（平稳域为一三角形）。二、AR模型1.AR(P)模型本身就是一种逆转形式。2.平稳性。先以AR(1)(Yt=1Yt-1+εt),进行分析。5AR(1)平的条件11，它等价于(B)=1-1B=0的根在位外。3、在平的情况下，AR(1)有形式：（1-1B）Y=εYt1tjtj1tt11Bj0一般地，于AR(P)模型

8、：(B)Yt=εt，序列｛Yt｝平的充要条件是：(B)=0的根全在位外。此，Yt有形式：Yt=-1(B)εt