平稳时间序列模型及其特征.pdf

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1、第一章平稳时间序列模型及其特征第一节模型类型及其表示一、自回归模型（AR）由于经济系统惯性的作用，经济时间序列往往存在着前后依存关系。最简单的一种前后依存关系就是变量当前的取值主要与其前一时期的取值状况有关。用数学模型来描述这种关系就是如下的一阶自回归模型：Xt=φXt-1+εt（常记作AR(1)。其中｛Xt｝为零均值（即已中心化处理）平稳序列，φ为Xt对Xt－1的依赖程度，εt为随机扰动项序列（外部冲击）。如果Xt与过去时期直到Xt-p的取值相关，则需要使用包含Xt－1，⋯⋯Xt-p在内的p阶自回归模型来加以刻画。P阶自回归模型的一般形式为：Xt=φ1Xt－1+φ2Xt－2+⋯+φp

2、Xt－p+εt（为了简便运算和行文方便，我们引入滞后算子来简记模型。设Bk-1k为滞后算子，即BXt=Xt-1,则B(BXt)=BXt=Xt-kB(C)=C(C为常数)。利用这些记号，（23pXt=φ1BXt+φ2BXt+φ3BXt+⋯⋯+φpBXt+εt从而有：2p（1-φ1B-φ2B-⋯⋯-φpB）Xt=εt2P记算子多项式φ（B）＝（1-φ1B-φ2B-⋯⋯-φpB）,则模型可以表1示成φ（B）Xt=εt(例如，二阶自回归模型Xt=0.7Xt-1+0.3Xt-2+0.3Xt-3+εt可写成2（1-0.7B-0.3B）Xt=εt二、滑动平均模型（MA）有时，序列Xt的记忆是关于过去

3、外部冲击值的记忆，在这种情况下，Xt可以表示成过去冲击值和现在冲击值的线性组合，即Xt=εt-θ1εt-1-θ2εt-2-⋯⋯-θqεt-q(此模型常称为序列Xt的滑动平均模型，记为MA(q)，其中q为滑动平均的阶数，θ1，θ2⋯θq为参滑动平均的权数。相应的序列Xt称为滑动平均序列。使用滞后算子记号，（2qXt=（1-θ1B-θ2B-⋯⋯-θqB）qt=θ(B)εt(三、自回归滑动平均模型如果序列｛Xt｝的当前值不仅与自身的过去值有关，而且还与其以前进入系统的外部冲击存在一定依存关系，则在用模型刻画这种动态特征时，模型中既包括自身的滞后项，也包括过去的外部冲击，这种模型叫做自回归滑动

4、平均模型，其一般结构为：Xt=φ1Xt-1+φ2Xt-2+⋯⋯+φpXt-p+εt-θ1εt-1-θ2εt-2-⋯⋯-θqεt-q(简记为ARMA(p,q)。利用滞后算子，此模型可写为φ（B）Xt=θ(B)εt（2第二节线性时间序列模型的平稳性、可逆性和传递性首先介绍两个概念。①序列的传递形式：设｛Yt｝为随机序列，｛εt｝为白噪声，若｛Yt｝可表示为：Yt=εt+G1εt-1+G2εt-2+⋯⋯+Gkεt-k+⋯⋯=G(B)εt且Gk，则称｛Yt｝具有传递形式，此时｛Yt｝是平稳的。系1数｛Gk｝称为格林函数。它描述了系统对过去冲击的动态记忆性强度。②序列的逆转形式：若｛Yt｝可表示

5、为：εt=Yt-π1Yt-1-π2Yt-2-⋯⋯-πkYt-k-⋯⋯=π(B)Yt且k，则称｛Yt｝具有逆转形式（或可逆形式）。1一、MA模型1.MA模型本身就是传递形式。2.MA(q)总是平稳的（由上一章的例），MA（∞）在系数级数绝对收敛的条件下平稳。3.MA(q)模型的可逆性条件。先以MA（1）(Yt=εt-θ1εt-1)为例进行分析。MA(1)的可逆性条件为：11。如果引入滞后算子表示MA(1)，3则Yt=（1-θ1B）εt，可逆条件11等价于θ(B)=1-θ1B=0的根全在单位圆外。对于一般的MA(q)模型，利用滞后算子表示有：2qYt=（1-θ1B-θ2B-⋯⋯-θqB）ε

6、t=θ(B)εt其可逆的充要条件是：θ(B)=0的根全在单位圆外（证明见Box-Jenkins，P79）。在可逆的情况下，服从MA(q)模型的序列可以表示成无穷阶的AR模型：-1θ(B)Yt=εtMA(q)的可逆域：使θ(B)=0的根全在单位圆之外的系数向量（θ1，θ2，⋯⋯，θq）所形成的集合。例：求MA(2)的可逆域。解：由Ytt1t12t2，其特征方程为：2(B)11B2B0该方程的两个根为：2114212221142222由二次方程根与系数的关系，有1112,1222当MA（2）平稳时，根的模1与2都必须大于1，因此必有：412112由根与系数的关系，可以推出如下式子：1121

7、1(1)(1)1211211(1)(1)12由于1、2是实数，1与2必同为实数或共轭复数。又因为i1，因此110i故11211(1)(1)1121反之，如果21，且211。那么从21可以推出至1211少有一个i1，例如，假设11，则根据1(1)(1)1可推出121111(1)(1)0，由10可以推出10，从而21。因此，12122(B)11B2B0的根在单位圆之外。（平稳域为一三角形）。二、AR模型1.AR(P)模型本身就是一种逆转形式。2.平