函数图象对称性和周期性

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1、函数图象的对称性和周期性云南昭通昭翼培训学校陈培泽研究函数图象的对称性和周期性，对于学习函数函数图象有重要意义。现将部分常用结论归纳于后：1．若求关于点对称的函数表达式，只需用换；若是证明图象关于点对称，则用换，证明满足.2．若求关于对称的函数表达式，只需用换；若是证明图象关于对称，则用换，证明满足.3．若函数满足：，（或），则函数的图象关于直线对称。（特点：常数减变量）4．若函数满足：，，则函数是周期函数，周期.（特点：变量减常数）5．若函数图象关于和两条直线对称，则是周期函数，周期.证明：图象关于和两条直线对称，，，，令，，，.

2、6．推论:偶函数图象关于对称，是周期函数，.7．若函数的图象关于对称，则函数的图象关于对称。5证明：图象关于对称，，，令，，，函数的图象关于对称。1．若函数的图象关于点和对称，则是周期函数，周期.证明：的图象关于点和对称，，，令，，，。2．推论：奇函数图象关于点，，对称，则是周期函数，周期.3．若函数，图象关于点对称，则函数图象关于点对称。证明：函数，图象关于点对称，，，令，，，图象关于点对称。4．若是奇函数，图象关于点对称。证明：是奇函数，，令，，。图象关于点对称。下面举例说明应用：1．函数有以下命题：（1）在同一坐标系中，和的图

3、象关于对称；（2）若，则函数的图象关于直线对称；5（1）若则函数是周期为2的函数；（2）若，则函数图象关于点对称。其中正确命题的序号是。解：（1）图象是由图象向左平移1个单位，，图象是由向右平移1个单位，与图象关于轴对称，与图象关于轴对称。（1）错。（2），（3），（4）正确。2．函数为奇函数，满足，下列命题为真命题的序号是。（1）；（2）是以4为周期的函数；（3）图象关于对称；（4）图象关于对称。解：，（1）成立；又，（2）成立；又，，，（3）成立，又，当，（4）不成立。3．已知是定义在上的奇函数，图象关于点对称，且在区间上为增函

4、数，有以下四个命题，其中真命题的序号是：。（1）是周期为4的函数；（2）设，则；5（3）方程在区间上所有相异根的和为8。（4）在区间上为递增函数。解：（1），又图象关于点对称，，。（1）错。（2）奇函数在上递增，则在上也递增，，；又；，。（2）成立。（3）且，作图知方程图形，知有两个相异根，其和为2，（3）错。（4）是周期为2的函数，在上的单调性与在上的单调性相同，图象关于点对称，为增函数，（4）成立。4．是偶函数，图象向左平移1个单位后图象与原点对称，有以下四个命题，真命题的序号是。（1）图象关于点对称（2）若，则；（3）若，，则

5、时，；（4）若，，则时，.解：（1）由题意知是奇函数，，即：，所以图象关于点对称。（1）真。（2），.，,5,,,(2)真。（3）设则，，，设，，.（3）真。（4）图象关于，，又是偶函数，，（4）真。5