等差数列学案

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1、等差数列学案　　§2　等差数列?　　第1课时　等差数列的概念及通项公式　　知能目标解读　　1.通过实例，理解等差数列的概念，并会用等差数列的概念判断一个数列是否为等差数列.　　2.探索并掌握等差数列的通项公式的求法.　　3.体会等差数列与一次函数的关系，能用函数的观点解决等差数列问题.　　4.掌握等差中项的定义，并能运用它们解决问题.　　5.能用等差数列的知识解决一些实际应用问题.　　重点难点点拨　　重点：等差数列的概念.　　难点：等差数列的通项公式及其运用.　　学习方法指导　　1.等差数列的定义　　（1）关于等差数列定义的理解，关键注意以下几个方面：　　①如果一个数列

2、，不是从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，那么这个数列不是等差数列.　　②一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差尽管等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为这些常数不一定相同，当这些常数不同时，此数列不是等差数列.　　③求公差时，要注意相邻两项相减的顺序.d=an+1-an(n∈N+)或者d=an-an-1(n∈N+且n≥2).　　（2）如何证明一个数列是等差数列?　　要证明一个数列是等差数列，根据等差数列的定义，只需证明对任意正整数n,an+1-an是同　　一个常数(或an-an-1(n>1)是同一个常数).这里所说的常数是指

3、一个与n无关的常数.　　注意:判断一个数列是等差数列的定义式：an+1-an=d(d为常数).若证明一个数列不是等差数列，可举一个特例进行否定，也可以证明an+1-an或an-an-1(n>1)不是常数，而是一个与n有关的变数即可.　　2.等差数列的通项公式　　（1）通项公式的推导常用方法：　　方法一（叠加法）：∵{an}是等差数列，　　∴an-an-1=d,an-1-an-2=d,　　an-2-an-3=d,…,　　a3-a2=d,a2-a1=d.　　将以上各式相加得：an-a1=(n-1)d,　　∴an=a1+(n-1)d.　　方法二(迭代法)：∵{an}是等差数列

4、，　　∴an=an-1+d=an-2+d+d=an-2+2d=an-3+3d=…=a1+(n-1)d.　　即an=a1+(n-1)d.　　方法三（逐差法）：∵{an}是等差数列，则有　　an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1=a1+(n-1)d.　　注意：等差数列通项公式的推导方法是以后解决数列题的常用方法，应注意体会并应用.　　（2）通项公式的变形公式　　在等差数列{an}中，若m，n∈N+，则an=am+(n-m)d.推导如下：∵对任意的m,n∈N+，在等差数列中，有　　am=a1+(m-1)d　　　①　　

5、an=a1+(n-1)d　　　②　　由②-①得an-am=(n-m)d,　　∴an=am+(n-m)d.　　注意：将等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d变形整理可得an=dn+a1-d，从函数角度来看，an=dn+(a1-d)是关于n的一次函数(d≠0时)或常数函数(d=0时)，其图像是一条射线上一些间距相等的点，其中公差d是该射线所在直线的斜率，从上面的变形公式可以知道，d=(n≠m).　　（3）通项公式的应用　　①利用通项公式可以求出首项与公差;　　②可以由首项与公差求出等差数列中的任意一项;　　③若某数为等差数列中的一项，可以利用通项公式求出项数.　　3.从

6、函数角度研究等差数列的性质与图像　　由an=f(n)=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是些正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d.　　当d>0时，{an}为递增数列，如图（甲）所示.　　当d0时，{an}是　　数列；当d=0时，{an}是　数列；当d<0时，{an｝是　　数列.　　［答案］　1.差　同一个常数　　2.a与b的等差中项　　3.（1）an-an-1=d(常数)　(2)等差数列　（3）　　4.an=a1+(n-1)d　an=am+(n-m)d　　5.递增　

7、常　递减　　思路方法技巧　　命题方向　等差数列的定义及应用　　［例1］　判断下列数列是否为等差数列.　　（1）an=3n+2；　　（2）an=n2+n.　　［分析］　利用等差数列定义，看an+1-an是否为常数即可.　　［解析］　(1)an+1-an=3(n+1)+2-(3n+2)=3(n∈N+).由n的任意性知，这个数列为等差数列.　　(2)an+1-an=