2008年全国高中数学联赛试题和答案

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1、2008年全国高中数学联赛试题及答案一试一、选择题（每小题6分，共36分）1．函数在上的最小值是（）。（A）0（B）1（C）2（D）32．设，，若，则实数的取值范围为（）。（A）（B）（C）（D）3．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为（）。（A）　（B）　（C）　　（D）4．若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（）。

2、（A）764cm3或586cm3（B）764cm3　（C）586cm3或564cm3（D）586cm35．方程组的有理数解的个数为（）。（A）1（B）2（C）3（D）46．设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是（）。（A）（B）（C）（D）二、填空题（每小题9分，共54分）7．设，其中为实数，，，，若，则　.8．设的最小值为，则　.9．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有　　　种．10．设数列的前项和满足：，，则通项=　．11．设是定义在上的函数，若，且对任意，满足，，则=　.1012

3、．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是　.三、解答题（每小题20分，共60分）13．已知函数的图像与直线有且仅有三个交点，交点的横坐标的最大值为，求证：．14．解不等式．第15题15．如图，是抛物线上的动点，点在轴上，圆内切于，求面积的最小值．解答1.当时，，因此，当且仅当时取等号．而此方程有解，因此在上的最小值为2．故选C.2.因为有两个实根，，故等价于且，即且，解之得．故选D。3.方法一：依题意知，的所有可能值为2、4、6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比

4、赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有，，，故．故选B。方法二：依题意知，的所有可能值为2、4、6.令表示甲在第局比赛中获胜，则表示乙在第局比赛中获胜．由独立性与互不相容性得10，，，因此．故选B。4.设这三个正方体的棱长分别为，则有，即。不妨设，从而，．故，只能取9、8、7、6．若，则，易知，，得一组解．若，则，．但，即，从而或5．若，则无解；若，则无解．因此c=8时无解．若，则，有唯一解，．若，则，此时，即。故，但，所以，此时无解．综上，共有两组解或

5、，体积为（cm3）或（cm3）。故选A。5.若，则解得或若，则由得．①由得．②将②式代入得．③由①式得，代入③式化简得.易知无有理数根，故，由①式得，由②式得，与矛盾，故该方程组共有两组有理数解或故选B。6.设的公比为，则，而　　．因此，只需求的取值范围．因为成等比数列，最大边只能是或，因此要构成三角形的三边，必须且只需且．即有不等式组即10解得从而，因此所求的取值范围是．故选C。7.由题意知，由得，，因此，，．8.，(1)时，当时取最小值；(2)时，当时取最小值1；(3)时，当时取最小值．又或时，的c不能为，故，解得，(舍去)．9.方法

6、一：用4条棍子间的空隙代表3个学校，而用表示名额．如表示第一、二、三个学校分别有4，18，2个名额．若把每个“”与每个“”都视为一个位置，由于左右两端必须是“｜”，故不同的分配方法相当于(个)位置（两端不在内）被2个“｜”占领的一种“占位法”．“每校至少有一个名额的分法”相当于在24个“”之间的23个空隙中选出2个空隙插入“｜”，故有(种)．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222(种)．方法二：设分配给3个学校的名额数分别为，则每校至少有一个名

7、额的分法数为不定方程的正整数解的个数，即方程的非负整数解的个数，它等于3个不同元素中取21个元素的可重组合：．又在“每校至少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有31种．综上知，满足条件的分配方法共有253－31＝222（种）．10.，即2=，由此得2．令，()，有，故，所以．11.方法一：由题设条件知10，因此有，故．方法二：令，则，，即，故，得是周期为2的周期函数，所以．12.如图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．因，故，从

8、而．记此时小球与面的切点为，连接，则．（第12题图1）第12题图2）考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为)相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如图2．记正四面体