高次方程和其解法

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1、高次方程及其解法  2009-12-0611:35:27

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4、字号大中小 订阅1.一元n次方程：（1）标准形式：a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0(a0≠0)，当n≥3时叫做高次方程.（2）解法思想：高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.2.高次方程根的存在定理  设多项式f(x)=a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an(a0≠0)（1）因式定理：多项式f(x)含有因式x-a的充要条件是f(a)=0.（2）实系数方

5、程虚根成对定理：如果方程f(x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0)，那么它必定还有另一个根a-bi.（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f(x)=0的系数都是有理数，①若a+√b是方程的根，那么a-√b必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）；②若√a+√b是方程的根，那么√a-√b，-√a+√b，-√a-√b必也是它的根（其中，√a、√b都是无数）；③若方程有一个虚根√a+√bi(a，b∈R且b≠0)，那么√a-bi，-√a+√bi，-√a-√bi必也是它的根（其

6、中，√a、√b都是无理数）.（4）整系数方程有理根存在定理：①如果方程f(x)=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；②在整系数方程f(x)=0中，如果α是方程的整数根，那么二比值f(1)/(α-1)和f(-1)/(α+1)都是整数；③在整系数方程f(x)=0中，如果f(0)与f(1)都是奇数，那么该方程无整数根；④最高次项的系数为1的整系数方程f(x)=0的有理根都是整数.如果方程没有整数根，那么它也没有有理根.3.一元n次方程的解法：（

7、1）一元n次方程a0xn+a1xn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0(a0≠0)的解法通常用验根法、因式分解法和换元法.（2）特殊的高次方程的解法：①二项方程axn+b=0(a≠0)可用复数开n次方的方法求解；②三项方程ax2n+bxn+c=0(a≠0)可用换元法求解，先令xn=y,解二次方程ay2+by+c=0(a≠0),然后求x；③倒数方程axn+bxn-1+cx-2+…+cx2+bx+a=0(其特点是距首末两项等远的项系数相等，a≠0)通常用换元法降次后求解.注：倒数方程具有性质：①    倒数方

8、程没有x=0的根；②    如果α是倒数方程的根，那么α的倒数1/α也是该方程的根；③奇次倒数方程必有x=-1的根.例题解答：