高次方程及其解法.doc

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1、高次方程及其解法  2009-12—0611：35：27｜  分类：学生园地

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3、字号大中小 订阅1.一元n次方程：（1）标准形式：a0xn+a1xn—1+a2xn-2+…+an—1x+an=0（a0≠0),当n≥3时叫做高次方程.（2）解法思想:高次方程解法的基本思想是降次，降次的方法有因式分解法和换元法.2。高次方程根的存在定理  设多项式f(x）=a0xn+a1xn—1+a2xn-2+…+an—1x+an(a0≠0)(1）因式定理：多项式f(x）含有因式x—a的充要条件是f（a)=0。(2）实系数方程虚根成对

4、定理：如果方程f（x)=0的系数都是实数，且方程有一个虚根a+bi(a，b∈R且≠0），那么它必定还有另一个根a—bi.（3）有理系数方程无理根或虚根存在定理：如果方程f（x）=0的系数都是有理数，①若a+√b是方程的根,那么a—√b必也是它的根（其中，a是有理数、√b是无理数）;②若√a+√b是方程的根,那么√a—√b，—√a+√b，—√a-√b必也是它的根（其中,√a、√b都是无数）;③若方程有一个虚根√a+√bi（a，b∈R且b≠0），那么√a—bi,—√a+√bi，—√a-√bi必也是它的根(其中，√a、√b都是无

5、理数).(4）整系数方程有理根存在定理:①如果方程f(x）=0的系数都是整数，那么方程有理根仅能是这样的分数p/q，其分子p是方程常数项的约数，分母q是方程最高次项的约数；②在整系数方程f(x)=0中,如果α是方程的整数根，那么二比值f(1）/（α—1)和f（-1）/（α+1)都是整数；③在整系数方程f(x）=0中，如果f(0）与f（1)都是奇数，那么该方程无整数根；④最高次项的系数为1的整系数方程f（x）=0的有理根都是整数。如果方程没有整数根，那么它也没有有理根。3。一元n次方程的解法:（1）一元n次方程a0xn+a1

6、xn-1+a2xn—2+…+an—1x+an=0(a0≠0）的解法通常用验根法、因式分解法和换元法。（2）特殊的高次方程的解法：①二项方程axn+b=0（a≠0)可用复数开n次方的方法求解;②三项方程ax2n+bxn+c=0(a≠0)可用换元法求解，先令xn=y,解二次方程ay2+by+c=0(a≠0)，然后求x；③倒数方程axn+bxn-1+cx—2+…+cx2+bx+a=0（其特点是距首末两项等远的项系数相等，a≠0)通常用换元法降次后求解。注:倒数方程具有性质:①    倒数方程没有x=0的根；②    如果α是倒数

7、方程的根，那么α的倒数1/α也是该方程的根；③奇次倒数方程必有x=—1的根。例题解答：