全国高中数学竞赛试卷及答案

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1、2008年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题2008年5月18日(14：30一16：30)一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)1.设集合，则集合的非空真子集的个数为（）（A）13（B）14（C）15（D）162.在公差为4的正项等差数列中，与2的算术平均值等于与2的几何平均值，其中表示数列的前三项和，则为（）（A）38（B）40（C）42（D）443.某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生，要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛，则代表队包含男女各2人的概率为（）（A）（B）（C）（D）4.设有一个体积为54的正四

2、面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体积为（）（A）1（B）2（C）3（D）45.已知椭圆的左顶点为，右焦点为，点为椭圆上的一点，则当取最小值的时候，的值为（）（A）（B）3（C）5（D）6.设则的最小值为（）（A）（B）（C）1（D）二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）7.函数的最小值为__________________.第47页共47页1.函数对任意的满足，且，则＝______________________.2.设数列满足：，则的最大公约数为________________.1234

3、567893.已知正实数满足，则的最小值为__________________.4.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有_______种。5.数列、满足：，且，则＝_________.三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）6.是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明．7.设是抛物线的焦点，橙子奥数欢迎您，为抛物线上异于原点的两点，且满足．延

4、长分别交抛物线于点（如图）．求四边形面积的最小值．8.已知⊙与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点（如图）．求证：．9.已知，，其中正整数．（1）求证：对于一切的正整数，都；（2）求的最小值，其中约定．第47页共47页2008年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档

5、次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)1、B2、A3、C4、B5、B6、C二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）7、88、9、310、11、10812、三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）13、是否存在一个二次函数，使得对任意的正整数，当时，都有成立？请给出结论，并加以证明．解：存在符合条件的二次函数．…5分设，则当时有：①；②；③．联立①、②、③，解得．于是，．10分下面证明：二次函数符合条件．因为，同理：；…15分．第47页共47页所以，所求的二次函数符合

6、条件．……20分14、设是抛物线的焦点，为抛物线上异于原点的两点，且满足．延长分别交抛物线于点（如图）．求四边形面积的最小值．解：设，由题设知，直线的斜率存在，设为．因直线过焦点，所以，直线的方程为．联立方程组，消得由根与系数的关系知：，……5分于是　　　　……10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得．……15分故当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32．……20分15、已知⊙与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点（如图）．橙子奥数工作室欢迎您．求证：．证明：如图，连结．∵分别与⊙相切于∴∵和

7、都是⊙的半径，……5分∴由对称性知，且于．∴，即……10分第47页共47页又∵，∴∽∴……15分过作两圆的公切线，则又∵，即∴故．……20分16、已知，，其中正整数．（1）求证：对于一切的正整数，都有；（2）求的最小值，其中约定．（1）证明：对于一切的正整数，．5分（2）由不等式知……10分……15分当时，等于成立，所以有最小值．…20分2008年全国高中数学联赛一试试题一、选择题（本题满分36分，每小题6分）第47页共47页1．函数在上的最小值是                              （C ）A．0

8、              B．1             C．2              D．32．设，，若，则实数的取值范围为      （  ）A．         B．         C．          D．3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满