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1、2008年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题2008年5月180(14：30—16：30)一.选择题(本大题满分30分，每小题5分)1.设集合A=
2、x
3、x2+x-6<0,Kxgz},则集合A的非空真子集的个数为(2.3.4.5.(A)13(B)14(C)15(D)16在公差为4的正项等差数列中,的前三项和，则術为(冬与2的算术平均值等于S3与2的儿何平均值，其中S3表示数列(C)42(D)44(A)38(B)40某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生，要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛，则代表队包含男女各
4、2人的概率为(A)匹(B)竺143143设有一个体积为54的正四面体，积为()(A)1(B)2()(C)竺(D)21143143若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体(C)3(D)4已知椭圆冷+专=1的左顶点为A,右焦点为巧,TT点户为椭圆上的一点，则当以•局取最小值的吋候，pa}+pf2的值为()(A)2^2(B)3(C)•33设处(0,-)则竺纟+竺卫的最小值为2coscrsma(A)—(B)-V2645二、填空题(本大题满分30分，每小题5分)6.(C)(D)讣7.函数f(x)=-7
5、
6、的最小值为，且/⑴斗则/（2008）=乙123456789函数/（兀）对任意的兀满足/（x+3）=-9.设数列｛an｝满足:色=（2料一1）（2小）（2〃+3）,则坷吗，…，％的最大公约数〃为10.已知正实数兀』满足兀+2尸4,则丄+丄的最小值为xy11.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途屮标号为1,2,.-,9的9个小正方形（如图）,使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种。_IC12.数列｛色｝、他｝满足：q=1,勺=7,且「和"；一J
7、，则lim殂=〔爲=3乞-4色宀*三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）13.是否存在一个二次函数/（%）,使得对任意的正整数当兀二竺三R个5时，都有f（x）=55-5成立？请给出结论，并加以证明.2*个514•设F是抛物线長=4兀的焦点，橙子奥数欢迎您，A、B为抛物线上异于原点O的两点，且满足鬲•而=0.延长AF、BF分别交抛物线于点C、D（如图）.求四边形ABCD面积的最小值.15.已知OO与ABC的边AB、AC分别相切于P和0,与ABC外接圆相切于D,M是PQ的中点（如图）.求证：ZPOQ=2
8、ZMDC・16.已知,z=1,2,•••»/?,其中正整数n>2.11?（1）求证：对于一切的正整数儿都力-17-a~3⑵求乍〒E的最小似其中约定"2008年高中数学联赛四川赛区初赛试题参考答案及评分标准说明：1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.一、选择题(本大题
9、满分30分，每小题5分)1、B2、A3、C4、B5、B6、C二、填空题(本大题满分30分，每小题5分)1nh17、88、-29、310、11、10812、一44三、解答题(本大题满分80分，每小题20分)13、是否存在一个二次函数/(x),使得对任意的正整数当x=55^5时，都3、5有/(x)=55-J成立？请给出结论，并加以证明.2火个5解：存在符合条件的二次函数.…5分设f(x)=ax2+bx+cf则当*=1,2,3时有：f(5)=25a+5b+c=55①；/(55)=3025^7+55b+c=5555②
10、；/(555)=308025a+555/?+c=555555③.o9联立①、②、③，解得a=—,b=2,c=0.于是，/(!•)=—+2x.10分559下面证明：二次函数f(x)=-x2+2x符合条件.5因为55---5=5(1+10+100+---+10*_1)=-(10a-1),•••15分9同理：55---5=-(102A-1)；95955/(55-..5)=/(-(10^-l))=-[-(10^-I)]2+2x-(10^-1)x_v_z9599R个52&个5=
11、(10^-1)2+2x-
12、(10a-1)
13、=
14、(10A-l)(10A+1)=
15、(102A-l)=55---5.20分o所以，所求的二次函数f(x)=-x2+2x符合条件.14、设F是抛物线y2=4x的焦点，A、B为抛物线上异于原点0的两点,且满足FAFB=O延长AF.BF分别交抛物线于点C、D(如图).求四边形ABCD面积的最小值.解：设A(»yJ、C(兀2，旳)，由题设知，直线AC的斜率存在，设为k・因直线AC过焦点F(1,O),所以，直
