易错点1忽视空集是任何非空集合子集导致思维不全

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1、【易错点1】忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面。例1、设，，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？【易错点分析】此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解析：集合A化简得，由知故（Ⅰ）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（Ⅱ）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。【知识点归类点拔】（1）在应用条件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ时，要树立起分类讨论的数学思想，将集合Ａ是空集Φ的情况优先进行讨论．（2）在解答集合问题时，要注意集合的性质“确定性、无序性

2、、互异性”特别是互异性对集合元素的限制。有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素的这个性质，此外，解题过程中要注意集合语言（数学语言）和自然语言之间的转化如：，，其中,若求r的取值范围。将集合所表达的数学语言向自然语言进行转化就是：集合A表示以原点为圆心以2的半径的圆，集合B表示以（3，4）为圆心，以r为半径的圆，当两圆无公共点即两圆相离或内含时，求半径r的取值范围。思维马上就可利用两圆的位置关系来解答。此外如不等式的解集等也要注意集合语言的应用。【练1】已知集合、，若，则实数a的取值范围是。答案：或。【易错点2】求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则。例2、已

3、知,求的取值范围【易错点分析】此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。解析：由于得(x+2)2=1-≤1，∴-3≤x≤-1从而x2+y2=-3x2-16x-12=+因此当x=-1时x2+y2有最小值1,当x=-时，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范围是[1,]【知识点归类点拔】事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件对x、y的限制，显然方程表示以（-2，0）为中心的椭圆，则易知-3≤x≤-1，。此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解。【练2】（05高考重庆卷）若

4、动点（x,y）在曲线上变化，则的最大值为（）（A）（B）（C）（D）答案：A【易错点3】求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域。例3、是R上的奇函数，（1）求a的值（2）求的反函数【易错点分析】求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用（或）求得a=1.（2）由即，设,则由于故，，而所以【知识点归类点拔】（1）在求解函数的反函数时，一定要通过确定原函数的值域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明（若反函数的定义域为R可省略）。（2）应用可省略求反函数的步骤，直接利用原函数求解但应注意其自变量和函数值要互换。【练

5、3】（2004全国理）函数的反函数是（）A、B、C、D、答案：B【易错点4】求反函数与反函数值错位例4、已知函数，函数的图像与的图象关于直线对称，则的解析式为（）A、B、C、D、【易错点分析】解答本题时易由与互为反函数，而认为的反函数是则==而错选A。解析：由得从而再求的反函数得。正确答案：B【知识点分类点拔】函数与函数并不互为反函数，他只是表示中x用x-1替代后的反函数值。这是因为由求反函数的过程来看：设则，再将x、y互换即得的反函数为，故的反函数不是，因此在今后求解此题问题时一定要谨慎。【练4】（2004高考福建卷）已知函数y=log2x的反函数是y=f-1(x)，

6、则函数y=f-1(1-x)的图象是（）答案：B【易错点5】判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件：定义域关于原点对称。例5、判断函数的奇偶性。【易错点分析】此题常犯的错误是不考虑定义域，而按如下步骤求解：从而得出函数为非奇非偶函数的错误结论。解析：由函数的解析式知x满足即函数的定义域为定义域关于原点对称，在定义域下易证即函数为奇函数。【知识点归类点拔】（1）函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件，因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域。（2）函数具有奇偶性，则是对定义域内x的恒等式。常常利用这一点求解函数中字母参数的值。【练5】判断下

7、列函数的奇偶性：①②③答案：①既是奇函数又是偶函数②非奇非偶函数③非奇非偶函数【易错点6】易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系。从而导致解题过程繁锁。例5、函数的反函数为，证明是奇函数且在其定义域上是增函数。【思维分析】可求的表达式，再证明。若注意到与具有相同的单调性和奇偶性，只需研究原函数的单调性和奇偶性即可。解析：，故为奇函数从而为奇函数。又令在和上均为增函数且为增函数，故在和上分别为增函数。故分别在和上分别为增函数。【知识点归类点拔】对于反函数知识有如下重要结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数。（2）奇函数的反函数也是奇函数